szukanie baz podprzestrzeni

[qaz_137]

będę wdzięczna za pomoc w następującym zadaniu:
mamy następujące wektory:
\(\displaystyle{ \vec{a_{1}}= e_{1}+e_{2}+e_{4}+e_{5} \ \ \ \
\vec{a_{2}}=6e_{1}+e_{2}-e_{3}+6e_{4}+3e_{5} \ \ \ \
\vec{b_{1}}=e_{1}+3e_{2}+2e_{3}-e_{4}+4e_{5} \ \ \ \
\vec{b_{2}}=5e_{1}+2e_{2}-e_{3}+3e_{4}+5e_{5} \ \ \ \
\vec{b_{3}}=3e_{1}-4e_{2}-5e_{3}+5e_{4}-3e_{5}}\)
i szukamy baz podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_{1}=L(a_{1},a_{2}) \ \ V_{2}=L( b_{1},b_{2},b_{3}) \ \ V_{1}+V_{2} \ \ \ \ V_{1} \cap V_{2}}\)
a więc dla \(\displaystyle{ V_{1}=L(a_{1},a_{2}) V_{2}=L[b_{1},b_{2},b_{3})}\) sprawdzam po prostu liniową niezależność wektorów, zaś dla \(\displaystyle{ V_{1}+V_{2}}\) wpisuję te wektory jako kolumny macierzy i za pomocą metody Gaussa otrzymuję macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&-2&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\). Stąd odczytuję że bazę sumy podprzestrzeni stanowią wektory \(\displaystyle{ \vec{a_{1}},\ \vec{a_{2}},\ \vec{b_{1}},\ \vec{b_{3}}}\).
a jak mam znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\)?

[BettyBoo]

Najpierw możesz sprawdzić, czy jest co liczyć. Wymiar przekroju wyznacza się z równania

\(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2)}\)

Jeśli wymiar jest 0, to oczywiście przekrój jest przestrzenią zerową, więc bazy nie ma. Jeśli wymiar jest większy od zera, to korzystasz z tego, że do przekroju należą wektory, które leżą i w jednej i w drugiej powłoce. Tzn wektory \(\displaystyle{ x}\)spełniające równanie

\(\displaystyle{ x=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2=\beta_1b_1+\beta_2b_2+\beta_3b_3}\)

Po porównaniu masz

\(\displaystyle{ -\alpha_1a_1-\alpha_2a_2+\beta_1b_1+\beta_2b_2+\beta_3b_3=0}\)

Wobec tego aby znaleźć wektory należące do przekroju wystarczy rozwiązać jednorodny układ równań z macierzą współczynników, której kolumnami są wszystkie generatory z obu przestrzeni. Z rozwiązania wybierasz odpowiednią ilość wektorów liniowo niezależnych (tyle, ile parametrów).

Pozdrawiam.

[qaz_137]

dzięki - rozjaśniło sprawę