dowód- rozmaitości algebraiczne

[rego]

Witam mam kilka Pytań do dowodu:

Jeśli \(\displaystyle{ V}\)- nierozkładalny to \(\displaystyle{ I(V)}\) jest pierwszy. Przypuśćmy więc, że zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest nierozkładalny natomiast ideał \(\displaystyle{ I(V)}\) nie jest pierwszy. Istnieją zatem wielomiany \(\displaystyle{ f, g \in K [ X_{1} \ldots X_{n} ]}\) takie, że \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) oraz \(\displaystyle{ f \notin I(V), g \notin I(V)}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A:= Z(f) \cap V}\), \(\displaystyle{ B:=Z(g) \cap V}\)
są zbiorami algebraicznymi. Udowodnimy, że:
\(\displaystyle{ V= A \cup B}\) oraz \(\displaystyle{ V \neq A}\), \(\displaystyle{ V \neq B}\) \(\displaystyle{ (*)}\)
Po pierwsze jeśli \(\displaystyle{ x \in V}\), to wobec \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)g(x)=0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ g(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \m B}\). Zatem \(\displaystyle{ V \subseteq A \cup B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są z definicji podzbiorami \(\displaystyle{ V}\) wynika stąd równość \(\displaystyle{ V= A \cup B}\).
Po drugie, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ V=A}\). Wtedy \(\displaystyle{ I(V)= I(A)}\), podczas gdy \(\displaystyle{ f \notin I(V)}\) i \(\displaystyle{ f \in I(A)}\). A więc \(\displaystyle{ V \neq A}\) i podobnie \(\displaystyle{ V \neq B}\) dowodzi to \(\displaystyle{ (*)}\).
Z powyższych faktów wynika, żerprzypuszczenie, że zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest nierozkładalny i ideał \(\displaystyle{ I(V)}\) nie jest pierwszy prowadzi do sprzeczności.

A oto pytania:

\(\displaystyle{ A:= Z(f) \cap V}\)

co oznacza \(\displaystyle{ Z(f)}\) i jak pokazać, że takie przecięcie jest zbiorem algebraicznym?

Po pierwsze jeśli \(\displaystyle{ x \in V}\), to wobec \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)g(x)=0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ g(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \m B}\).

Czy tutaj biorę, że ten iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 0}\) ponieważ \(\displaystyle{ I(V)}\) jest zbiorem zer?

Narazie chyba tyle
Proszę o pomoc.

[max]

\(\displaystyle{ Z(f)}\) to zera wielomianu \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ Z(f) = \{x\in A^{n}(K) \ : \ f(x) = 0\}}\)
W szczególności jest to zbiór algebraiczny.
Przecięcie zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym, bowiem jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ f_{1},\ldots, f_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ g_{1},\ldots, g_{m}}\) to \(\displaystyle{ V\cap W}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ f_{1},\ldots,f_{n},g_{1},\ldots, g_{m}.}\)

Co do drugiego pytania - \(\displaystyle{ I(V)}\) jest ideałem składającym się z wielomianów, które zerują się na \(\displaystyle{ V,}\) zatem skoro \(\displaystyle{ fg\in I(V),}\) to \(\displaystyle{ f(x)g(x) = (fg)(x) = 0}\)

[rego]

Dzięki wielkie, dla zbioru rzutowego jest podobnie? Jak zdefiniować zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) w przypadku rzutowym?

Pozdrawiam-- 10 stycznia 2010, 16:43 --

Przecięcie zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym, bowiem jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ f_{1},\ldots, f_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ g_{1},\ldots, g_{m}}\) to \(\displaystyle{ V\cap W}\) jest zbiorem zer wielomianów \(\displaystyle{ f_{1},\ldots,f_{n},g_{1},\ldots, g_{m}.}\)

hmm a to nie będzie przypadkiem suma?, przeciecie to nie jest czasem zbiór zer tych samych wielomianów z \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\)?

[max]

Co do drugiego pytania to nie. Do przecięcia dwóch zbiorów algebraicznych należą te elementy przestrzeni, które należą do obu z nich, czyli te na których zerują się zarówno wielomiany zadające pierwszy zbiór, jak te, które zadają drugi ze zbiorów.
Ogólniej mamy takie zależności:
\(\displaystyle{ Z(I)\cap Z(J) = Z(I+J)\\
Z(I)\cup Z(J) = Z(I\cap J) = Z(IJ)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Z(I)}\) oznacza zbiór zer (w przestrzeni afinicznej) ideału \(\displaystyle{ I}\) pierścienia \(\displaystyle{ K[X_{1},\ldots, X_{n}]}\)

Dla zbioru w przestrzeni rzutowej dowód jest bardzo podobny, tylko początek nieco dłuższy.
Najpierw korzystamy z faktu, iż dla rozmaitości rzutowej \(\displaystyle{ V}\) ideał \(\displaystyle{ I(V)}\) jest (z definicji) ideałem jednorodnym (tzn generowanym przez wielomiany jednorodne; dokładniej jest to ideał generowany przez wielomiany jednorodne zerujące się na \(\displaystyle{ V}\)).
Dalej korzystamy z faktu, iż ideał jednorodny \(\displaystyle{ I}\) jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wielomianów jednorodnych \(\displaystyle{ f,g\in K[X_{1},\ldots, X_{n}]}\) jeśli \(\displaystyle{ fg\in I}\) to \(\displaystyle{ f\in I}\) lub \(\displaystyle{ g\in I.}\)
Zatem dowodząc nie wprost możemy przypuścić, że istnieją wielomiany jednorodne \(\displaystyle{ f,g\in K[X_{1},\ldots, X_{n}]}\) takie, że \(\displaystyle{ fg\in I(V)}\) oraz \(\displaystyle{ f,g\not\in I(V)}\) i dalej argument idzie zupełnie analogicznie jak wcześniej (zauważmy, że jednorodność wielomianów \(\displaystyle{ f,g}\) jest istotna w tym argumencie, gdyż w przestrzeni rzutowej zbiór \(\displaystyle{ Z(f)}\) zer wielomianu \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określony tylko dla wielomianu jednorodnego).

[rego]

Po drugie, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ V=A}\). Wtedy \(\displaystyle{ I(V)= I(A)}\)..........

Jak wykazać, że Jeśli \(\displaystyle{ V=A}\) to \(\displaystyle{ I(V)= I(A)}\)?

Gdzie znajdę dowody zależności:

Ogólniej mamy takie zależności:
\(\displaystyle{ Z(I)\cap Z(J) = Z(I+J)\\
Z(I)\cup Z(J) = Z(I\cap J) = Z(IJ)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Z(I)}\) oznacza zbiór zer (w przestrzeni afinicznej) ideału \(\displaystyle{ I}\) pierścienia \(\displaystyle{ K[X_{1},\ldots, X_{n}]}\)

to chyba moje ostanie pytania do tego dowodu. Proszę o odpowiedź.
Pozdrawiam.

[max]

Skoro dwa zbiory są równe, to wielomiany zerujące się na pierwszym są dokładnie takie same jak na drugim.

Dowody tych zależności są dość proste (na poziomie wstępu teorii mnogości); nie dysponuję żadnym źródłem, więc dla przykładu jedną mogę uzasadnić:

Ogólnie mamy dla dowolnych zbiorów:
\(\displaystyle{ S\subset T\Rightarrow Z(S)\supset Z(T)}\)
bo jeśli każdy wielomian \(\displaystyle{ f\in T}\) zeruje się w ustalonym punkcie, to w szczególności każdy wielomian z \(\displaystyle{ S}\) zeruje się w tym punkcie.
Dysponując tą własnością otrzymujemy zależności:
\(\displaystyle{ Z(I), Z(J)\subset Z(I\cap J) \subset Z(IJ)}\)
(przypomnijmy, że dla dowolnych ideałów \(\displaystyle{ I,J}\) mamy \(\displaystyle{ IJ\subset I\cap J}\)).
Pozostaje wykazać \(\displaystyle{ Z(IJ)\subset Z(I)\cup Z(J).}\)
Ale to jest jasne, bo jeśli w \(\displaystyle{ x}\) zerują się wszystkie wielomiany z \(\displaystyle{ IJ}\) to w szczególności \(\displaystyle{ f(x)g(x) = 0}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ f\in I, \ g\in J.}\) Jeśli teraz \(\displaystyle{ f_{0}(x) \neq 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ f_{0}\in I,}\) to musi być \(\displaystyle{ g(x) = 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ g\in J}\) (inaczej byłoby \(\displaystyle{ f_{0}(x)g_{0}(x) \neq 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ g_{0}\in J}\) -sprzeczność), czyli \(\displaystyle{ x\in Z(I)}\) lub \(\displaystyle{ x\in Z(J)}\) co dowodzi wymaganej inkluzji.