Jeśli \(\displaystyle{ V}\)- nierozkładalny to \(\displaystyle{ I(V)}\) jest pierwszy. Przypuśćmy więc, że zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest nierozkładalny natomiast ideał \(\displaystyle{ I(V)}\) nie jest pierwszy. Istnieją zatem wielomiany \(\displaystyle{ f, g \in K [ X_{1} \ldots X_{n} ]}\) takie, że \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) oraz \(\displaystyle{ f \notin I(V), g \notin I(V)}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A:= Z(f) \cap V}\), \(\displaystyle{ B:=Z(g) \cap V}\)
są zbiorami algebraicznymi. Udowodnimy, że:
\(\displaystyle{ V= A \cup B}\) oraz \(\displaystyle{ V \neq A}\), \(\displaystyle{ V \neq B}\) \(\displaystyle{ (*)}\)
Po pierwsze jeśli \(\displaystyle{ x \in V}\), to wobec \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)g(x)=0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ g(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \m B}\). Zatem \(\displaystyle{ V \subseteq A \cup B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są z definicji podzbiorami \(\displaystyle{ V}\) wynika stąd równość \(\displaystyle{ V= A \cup B}\).
Po drugie, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ V=A}\). Wtedy \(\displaystyle{ I(V)= I(A)}\), podczas gdy \(\displaystyle{ f \notin I(V)}\) i \(\displaystyle{ f \in I(A)}\). A więc \(\displaystyle{ V \neq A}\) i podobnie \(\displaystyle{ V \neq B}\) dowodzi to \(\displaystyle{ (*)}\).
Z powyższych faktów wynika, żerprzypuszczenie, że zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest nierozkładalny i ideał \(\displaystyle{ I(V)}\) nie jest pierwszy prowadzi do sprzeczności.
A oto pytania:
co oznacza \(\displaystyle{ Z(f)}\) i jak pokazać, że takie przecięcie jest zbiorem algebraicznym?\(\displaystyle{ A:= Z(f) \cap V}\)
Czy tutaj biorę, że ten iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 0}\) ponieważ \(\displaystyle{ I(V)}\) jest zbiorem zer?Po pierwsze jeśli \(\displaystyle{ x \in V}\), to wobec \(\displaystyle{ fg \in I(V)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)g(x)=0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ g(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \m B}\).
Narazie chyba tyle
Proszę o pomoc.