Macierz równa macierzy do niej odwrotnej

[ciger]

Natknąłem się niedawno na macierz z dość ciekawą właściwością:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&2&3&4&-8\\1&1&3&4&-8\\1&2&2&4&-8\\1&2&3&3&-8\\1&2&3&4&-9\end{bmatrix}}\)

Mianowicie macierz A i macierz do niej odwrotna są sobie równe. Zacząłem się zastanawiać, jakie warunku musi spełniać macierz, żeby była równa macierzy do niej odwrotnej... Jedyne, do czego udało mi się dojść, to że wyznacznik takiej macierzy jest równy 1 albo -1 (choć nie umiem tego udowodnić, ale kontrprzykładu też nie znalazłem). Może ktoś spotkał się z takimi macierzami i podzieli się informacjami na ich temat?

[Wojtolino]

Wydaje mi się, że ten wyznacznik nie może być -1. Czemu? Otóż wzór na macierz odwrotną:
\(\displaystyle{ A ^{-1}= \frac{1}{detA} \cdot (A ^{D}) ^{T}}\). Z tego, co się w to zagłębiam, powinno zachodzić
\(\displaystyle{ A ^{D}=A ^{T}}\)
Z tego wychodzi, że elementy o parzystej sumie numeru wiersza i kolumny powinny zachowywać się tak:\(\displaystyle{ a _{ij}=a _{ji}}\), zaś te o nieparzystej \(\displaystyle{ a _{ij}=-a _{ji}}\) o ile się nie mylę

[ciger]

Macierz dopełnień nie będzie zwykle równa macierzy transponowanej. Nie wiem, jak do tego doszedłeś, dlatego podaję kontrprzykład, czyli macierz A o wyznaczniku -1 i \(\displaystyle{ A=A^{-1}}\) :

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} -1&0\\0&1\end{bmatrix}
A^{D}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}
A^{T}=\begin{bmatrix} -1&0\\0&1\end{bmatrix}}\)

[Wojtolino]

no skoro wyznacznik jest 1, to mogę go opuścić i skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ A=A ^{-1}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ A=(A ^{D}) ^{T}}\), co jest równoważne z tym, że \(\displaystyle{ A ^{T}=a ^{D}}\). Więc wygląda na to, że ten wyznacznik może być równy -1, wtedy chyba by się zgadzało.

[ciger]

Powiem tak: taką własność, o jakiej napisałeś, czyli \(\displaystyle{ A^{D}=A^T}\) dla wyznacznika równego 1 (albo nawet -1, wtedy po prostu \(\displaystyle{ A^{D}=- A^{T}}\) ), będzie także posiadała macierz, która nie jest równa swojej macierzy odwrotnej... Natomiast w kolejnym Twoim wniosku:

Z tego wychodzi, że elementy o parzystej sumie numeru wiersza i kolumny powinny zachowywać się tak:\(\displaystyle{ a _{ij}=a _{ji}}\), zaś te o nieparzystej \(\displaystyle{ a _{ij}=-a _{ji}}\) o ile się nie mylę

jest chyba pewna nieścisłość... bo elementy po jednej stronie równości trzeba brać z macierzy dopełnień \(\displaystyle{ A^{D}}\), natomiast te po drugiej stronie równości z macierzy transponowanej \(\displaystyle{ A^{T}}\). Oczywiście biorąc pod uwagę, że jak wyznacznik A jest równy -1, to mnożymy którąś z macierzy przez -1.

Chodziło mi bardziej o taką własność, która jest charakterystyczna wyłącznie dla tego typu macierzy, żeby umieć je szybko odróżnić od pozostałych i nie bawić się w liczenie macierzy odwrotnej konwencjonalnymi metodami, żeby po tonie obliczeń dojść do wniosku, że na starcie się ją miało na tacy A ta własność \(\displaystyle{ A^{D}=+- A^{T}}\) i tak wymaga znalezienia macierzy dopełnień, więc nic nam ona nie daje.

Może się okazać (i tak zapewne jest), że takiej "fajnej" zależności między elementami tego typu macierzy nie ma, co by tłumaczyło dlaczego nie ma wzmianki o takich macierzach w Internecie

[Wojtolino]

Wiesz, też po prostu zagłębiałem się w temat

[xiikzodz]

Każda taka macierz jest postaci \(\displaystyle{ X^{-1}DX}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest dowolną macierzą odwracalną, zaś \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną mającą na przekątnej \(\displaystyle{ \pm 1}\).