Wykazać liniową zależność punktów

[radeklor]

Wykazać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{n}}\) liniowo zależny jest każdy układ punktów \(\displaystyle{ p_{0},p_{1},...,p_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k>n}\)

[exupery]

\(\displaystyle{ \bigwedge_{i=1,2,...k} p_i = (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{in}) \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + .... + \alpha_k p_k = 0_{\mathbb{R^n}} \\ ( \alpha_1 * x_{11} + \alpha_2 * x_{21} ... \alpha_k * x_{k1} ; \alpha_1 * x_{12} ..... \alpha_k * x_{k2};.....; \alpha_1 * x_{1n} + \alpha_2 * x_{2n} +...+x_{kn}) =(0_1;0_2;0_3;...;0_n) \\ \left\{\begin{array}{l} \alpha_1 * x_{11} + \alpha_2 * x_{21} ... \alpha_k * x_{k1}=0 \\ \alpha_1 * x_{12} ..... \alpha_k * x_{k2}=0 \\.\\.\\.\\ \alpha_1 * x_{1n} + \alpha_2 * x_{2n} +...+x_{kn} =0 \end{array} \\}\)
masz n równań i k niewiadomych zatem musi być zależny