Macierz przekształcenia Helmerta ortonormalna?

[bartm]

Witam,
Mam za zadanie udowodnić, że macierz:

\(\displaystyle{ w_{1,j}=\frac{1}{\sqrt{n}}, \quad j=1,2,\ldots, n}\),
\(\displaystyle{ w_{i,j}=\frac{1}{\sqrt{i(i-1)}}, \quad i=2,3,\ldots,n; j<i}\),
\(\displaystyle{ w_{i,i}=\sqrt{\frac{i-1}{i}}, \quad i=2,3,\ldots,n}\),
\(\displaystyle{ w_{i,j}=0,\quad j>i}\),

jest ortonormalna, tzn. \(\displaystyle{ WW^T=I}\). Mam z tym problem, chyba rachunkowy, albo jakiś inny, i nie potrafię go znaleźć.

Chciałem to zrobić za pomocą faktu, iż jeśli A jest macierzą ortonormalną, to:

\(\displaystyle{ w_{i,1}w_{j,1}+w_{i,2}w_{j,2}+w_{i,3}w_{j,3}+\ldots+w_{i,n}a_{j,n}= \begin{cases} 0\quad i\neq j \\1\quad i = j \end{cases}}\).

No to niech \(\displaystyle{ i=j}\). Mam zatem warunek:

\(\displaystyle{ w_{i,1}^2+w_{i,2}^2+\ldots+w_{i,n}^2=1}\). Sprawdzam, ale nie wychodzi - dla i=1 mam:
\(\displaystyle{ w_{1,1}^2=\frac{1}{n}}\), zaś \(\displaystyle{ w_{1,k}^2=0,\quad k=2,3,\ldots,n}\), zatem cała suma będzie równa \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\). Co robię nie tak?

[BettyBoo]

Hm...przecież sam napisałeś, że

\(\displaystyle{ w_{1,j}=\frac{1}{\sqrt{n}}, \quad j=1,2,\ldots, n}\)

więc

\(\displaystyle{ w_{1,k}^2=\frac{1}{n},\ k=2,3,...,n}\)

czyli suma jest równa 1.

Pozdrawiam.