Dla jakich wartości "a" układ ma dokładnie 1 rozwiązanie?

[kapone]

\(\displaystyle{ \begin{cases} n x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\ 2x_{1}+ax_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0 \\ 3x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=0\end{cases}}\)

Znalazłam jakieś Tw. dla układu m równań jednorodnych o n niewiadomych, że jeśli \(\displaystyle{ rz(W)=rz(U)=n}\), to układ ma 1 rozwiązanie. W tym przypadku \(\displaystyle{ n=3}\).

W=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1\\2&a&1\\1&2&-1\\3&4&-3 \end{bmatrix} rz(W)\leqslant3}\)
U=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&0\\2&a&1&0\\1&2&-1&0\\3&4&-3&0 \end{bmatrix}rz(U)<4 \ bo \ detU=0}\)

Obliczam dokładnie rz(W). Obliczam wartość jednego z minorów macierzy W, np. utworzony z 3 pierwszych wierszy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1\\2&a&1\\1&2&-1 \end{bmatrix}=-a-4+1+a-2+2=-3 \neq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ rz(W)=3}\), a tym samym \(\displaystyle{ rz(U)=3}\) (niezależnie od "a"). Więc układ jest rozwiązywalny. Dodatkowo \(\displaystyle{ rz(W)=rz(U)=n=3}\), więc układ ma dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie dla każdego "\(\displaystyle{ a}\)".

Zgadza się? Będę wdzięczna za sprawdzenie.-- 6 sty 2010, o 12:34 --Oczywiście układ ma postać bez "n" w pierwszym wierszu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0 \\ 2x_{1}+ax_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0 \\ 3x_{1}+4x_{2}-3x_{3}=0\end{cases}}\)