macierz odwrotna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Rokuto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 26 lis 2006, o 13:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieprz
Podziękował: 11 razy

macierz odwrotna

Post autor: Rokuto »

Wyznacz macierz odwrotną macierzy A. Prosiłbym o pokazanie jak można to zrobić i co należy robić krok po kroku by odwrócić tą macierz.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}5&4&3&5\\4&4&1&4\\3&3&1&3\\4&7&-2&5\end{array}\right]}\)
Bieniol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 480
Rejestracja: 26 gru 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 138 razy

macierz odwrotna

Post autor: Bieniol »

Dopisujesz macierz jednostkową z prawej strony, następnie za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzasz "powiększoną" macierz do takiej postaci, aby ta wcześniejsza była teraz jednostkową. Wtedy ta nowsza jest macierzą odwrotną.

To tak słowami, a tutaj masz formalnie:

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right] \sim \left[I | A^{-1}\right]}\)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

macierz odwrotna

Post autor: Mariusz M »

W wyniku powinieneś dostać

\(\displaystyle{ A^{-1}= \begin{bmatrix} -2&3&1&-1 \\ -1&-4&7&0\\0&-3&4&0\\3&2&-9&1 \end{bmatrix}}\)

Można też obliczyć macierz odwrotną rozwiązując n układów równań liniowych gdzie
macierz główna układu to macierz odwracana a kolumnami wyrazów wolnych kolejne kolumny
macierzy jednostkowej

Układy te można rozwiązać metodą rozkładu LU=PA
Wtedy kolumny macierzy odwrotnej ustawiamy zgodnie z macierzą permutacji

Gdybyśmy jednak chcieli rozwiązać te układy równań liniowych metodą Cramera to
otrzymamy znany wzór z macierzą dopełnień algebraicznych
(a dokładniej z transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych)
ODPOWIEDZ