Macierze odwrotne

[Bloonddi]

Witam
Mam wielka prośbę do was.
Może mi ktoś wytłumaczyć jak się oblicza macierz odwrotną macierzy;
na danym przykładzie :

A=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&4&2\\3&2&7\\2&3&1\end{bmatrix}}\)

[Mariusz M]

Bloonddi,
Chcesz odwrócić tę macierz przy pomocy wyznaczników czy bez ich pomocy ?

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}} \cdot {A^{D}}^{T}}\)

lub

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[I|A^{-1} \right]}\)

W pierwszej metodzie używasz wyznaczników

\(\displaystyle{ A^D_{ij}= \left(-1 \right) ^{i+j}\det{A_{ij}}}\)

\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz powstała przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny

W drugiej metodzie sprowadzasz odwracaną macierz do macierzy jednostkowej
a macierz jednostkową do macierzy odwrotnej
Na obu macierzach wykonujesz te same operacje elementarne

1. Dodanie elementów wybranego wiersza do odpowiednich elementów innego wiersza
2. Pomnożenie elementów wybranego wiersza przez skalar różny od zera
3. Zamiana elementów wybranego wiersza z odpowiednimi elementami innego wiersza

[Bloonddi]

Przy pomocy wyznaczników.
Możesz wyjaśnić mi w jaki sposób mam to zrobić?
Z góry dziękuje za pomoc :*

[Mariusz M]

Bloonddi,

Jeżeli się nie pomyliłem przy wykreślaniu to będzie tak

\(\displaystyle{ \frac{1}{\det{\begin{bmatrix} 0&4&2\\3&2&7\\2&3&1\end{bmatrix}}} \begin{bmatrix} \det{ \begin{bmatrix} 2&7 \\ 3&1 \end{bmatrix} }&-\det{ \begin{bmatrix} 3&7 \\ 2&1 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 3&2 \\ 2&3 \end{bmatrix} } \\ -\det{ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 3&1 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 0&2 \\ 2&1\end{bmatrix}} &-\det{ \begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&3 \end{bmatrix} }\\ \det{ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 2&7 \end{bmatrix} }&-\det{ \begin{bmatrix} 0&2 \\ 3&7 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 0&4 \\ 3&2 \end{bmatrix} } \end{bmatrix}^T}\)

[Bieniol]

mariuszm, w macierzy dołączonej pogubiłeś minusy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \det{ \begin{bmatrix} 2&7 \\ 3&1 \end{bmatrix} }& - \det{ \begin{bmatrix} 3&7 \\ 2&1 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 3&2 \\ 2&3 \end{bmatrix} } \\ - \det{ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 3&1 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 0&2 \\ 2&1\end{bmatrix}} & - \det{ \begin{bmatrix} 0&4 \\ 2&3 \end{bmatrix} }\\ \det{ \begin{bmatrix} 4&2 \\ 2&7 \end{bmatrix} }& - \det{ \begin{bmatrix} 0&2 \\ 3&7 \end{bmatrix} }&\det{ \begin{bmatrix} 0&4 \\ 3&2 \end{bmatrix} } \end{bmatrix}^T}\)

Ogólnie odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ \frac{1}{54} \cdot \begin{bmatrix} -19&2&24\\11&-4&6\\5&8&-12\end{bmatrix}}\)

[Bloonddi]

Dziękuje bardzo za pomoc :* :*
Pozdrawiam

[Mariusz M]

Bieniol, Już do tego doszedłem dawno nie używałem wyznaczników do odwracania macierzy
przeważnie używam eliminacji Gaussa-Jordana

-- 4 stycznia 2010, 22:44 --

Bieniol,

macierz \(\displaystyle{ A^{D}}\) nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych-- 4 stycznia 2010, 22:48 --Bloonddi, polecam Tobie jako lekturę

Mostowski Stark "Elementy algebry wyższej"
Jurlewicz Skoczylas "Algebra Liniowa definicje twierdzenia wzory"
Jurlewicz Skoczylas "Algebra Liniowa przykłady i zadania"

[Bieniol]

Bieniol,

macierz \(\displaystyle{ A^{D}}\) nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych

Nie do końca zgodzę się z tym komentarzem. Transpozycja macierzy dopełnień algebraicznych (czyli macierz dołączona) jest oznaczana symbolem \(\displaystyle{ A^D}\).

Tak więc miałem rację pisząc:

mariuszm, w macierzy dołączonej pogubiłeś minusy:

Gdyż zawarłem w tej macierzy literkę "T", co oznacza transpozycję

PS. Nie odbierz tego źle, ale próbuję się obronić

[Mariusz M]

Bieniol, według Jurlewicz Skoczylas \(\displaystyle{ A^{D}}\) jest to macierz dopełnień algebraicznych

Nie wiem jak jest u Mostowskiego i Starka bo ciężko dostać ją w sieci

Wikipedia nie jest wiarygodnym źródłem ponieważ jakiś czas temu na wikipedii
oznaczenia podobne do tych u Jurlewicz Skoczylas

[Bieniol]

także w wikipedii stosują takie oznaczenie dla macierzy dopełnień

Wikipedia jednak mówi inaczej

Wniosek z tego taki, że są różne szkoły. Mnie na PŁ uczyli (niecały rok temu, więc jeszcze pamiętam), że \(\displaystyle{ A^D}\) to macierz dołączona.

Wikipedia nie jest wiarygodnym źródłem ponieważ jakiś czas temu na wikipedii
oznaczenia podobne do tych u Jurlewicz Skoczylas

Nie neguję tego, dlatego lepiej będzie urwać dyskusję Dziękuję!