wartości i wektory macierzy

[ANaJot]

Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&4\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\)

[Kamil_B]

W którym momencie masz konkretnie problem ?
Poczytaj np. https://matematyka.pl/post529805.htm#p529805

[ANaJot]

na podstawie wzoru ?
\(\displaystyle{ Ax-\delta x=0}\)

-- 4 sty 2010, o 21:32 --

[Kamil_B]

Najpierw wyznacz wartości własne.
Potem skorzystaj z tego wzoru co napisałaś ( o ile go dobrze zinterpretowałem) do wyznaczenia wektorów własnych x( osobno dla każdej wartości własnej).

EDIt:
Mi wyszły \(\displaystyle{ 1,2,-3}\). Sprawdź może jeszcze raz swoje obliczenia

[ANaJot]

.

[Kamil_B]

Ten wyznacznik na pewno nie jest iloczynem elementów z przekątnej, bo poniżej przekątnej jest jeszcze 1.

[ANaJot]

to jak to prawidłowo zapisać ?

[Kamil_B]

Po prostu policz dobrze ten wyznacznik-np. metodą Sarrusa.
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&4\\0&2-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{array}\right|=...}\)
Dostaniesz trzy wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}}\).
Teraz dla każdej z osobna wyznaczasz odpowiadający jej wektor własny \(\displaystyle{ v}\) np dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1}\) masz:

\(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}I)v=0}\)
\(\displaystyle{ (A-I)v=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową.
Oczywiście ten wektor \(\displaystyle{ v}\) nie może wyjśc zerowy.

[ANaJot]

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&4\\0&2-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = (1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda )}\)

\(\displaystyle{ \lambda _{1} = 1; \lambda_{2}=2; \lambda_{3}=-3}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+0*x_{2}+4*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+1*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 1*x_{1}+0*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
dobrze ?

[omen2]

Witam, sorry że odgrzewam ale mam do wykonania podobne zadanie i wg. mnie coś jest tu źle policzone, albo ja źle liczę (chodzi mi o wartości własne macierzy). Proszę kogoś o zamieszczenie rozwiązania.
Dzięki z góry

[miodzio1988]

Pokaż jak liczysz to znajdziemy błąd

[omen2]

\(\displaystyle{ (1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda ) +4( -(2-\lambda )*1)) =

1- 2 \lambda + \lambda^{2} + 4 - 4 \lambda + \lambda^{2} - 8 + 4 \lambda=

2\lambda^{2} - 2 \lambda -3}\)

Czy to dobrze jest ?

[miodzio1988]

chyba stopień Ci się nie zgadza , nie?

[omen2]

Nie wiem właśnie co się nie zgadza, dlatego pytam czy dobrze to robię ? I jaki wyjdzie wynik?

[miodzio1988]

No źle robisz. Źle mnożysz te nawiasy...