odwzorowanie liniowe - znaleźć jądro, obraz...

[milena_sam]

Mam problem z zadaniem:
Dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \RR^{3}\rightarrow\RR^{2}}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x-y+2z; -2x+2y-4z)}\). Znaleźć jądro, obraz oraz podać ich bazy.

[Nakahed90]

Jaki masz problem w tym zadaniu?

[milena_sam]

Po prostu nie wiem jak je zrobić

[Nakahed90]

Zacznijmy od tego czy wiesz wogóle co to jest jądro, obraz, baza?

[milena_sam]

wiem, i miałam na ćwiczeniach zadania z tym, ale to jest tak sformułowane, że nie wiem od czego zacząć.

[Nakahed90]

To zacznij od wyznaczenia jądra i jego bazy.

[milena_sam]

Nie umiem wyznaczyć jądra :/ na ćwiczeniach wyznaczaliśmy jądro od pochodnej funkji f(gdzie f nie była określona). Możesz mi napisać, jak ma to zrobić mając tego typu zadanie?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ Ker \phi=\{\alpha:\phi(\alpha)=0\}}\), czyli musisz rozwiązać takie równanie \(\displaystyle{ (x-y+2z,-2x+2y-4z)=0}\)

[milena_sam]

Z pierwszego równania wyznaczyłam \(\displaystyle{ x=2z+y}\). Podstawiłam to do drugiego równania i wyszło z niego, że \(\displaystyle{ z=0}\). Wstawiłam to do x i wyszło, że \(\displaystyle{ x=y}\). Dobrze to robię?

[Nakahed90]

Tak, czyli jądro przekształcenia stanowią wszystkie wektory postaci \(\displaystyle{ \{(x,x,0)\;x\in R\}}\). Teraz musisz wyznaczyć bazę jądra (później wypada wyznaczyć też jego wymiar).

[milena_sam]

Jeszcze mam pytanko co do tego jądra, bo jeśli to \(\displaystyle{ z=0}\) i \(\displaystyle{ x=2z+y}\) wstawię do drugiego równania to wyjdzie mi, że \(\displaystyle{ y=0}\), czyli wtedy wychodziłoby, że jądro jest postaci (0,0,0).

Mogę tak zrobić?

[Nakahed90]

Napewno ci nie wyjdzie y=0. Sprawdź jeszcze raz swoje obliczenia.

[milena_sam]

ok, dobra już wiem A możesz mi napisać jak wyznacza się bazę z jądra?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \{(x,x,0)\;x\in R\}=\{x\cdot (1,1,0):x\in R\}=lin((1,1,0))}\), czyli bazę stanowi wektor \(\displaystyle{ (1,1,0)}\)

[milena_sam]

ok, to rozumiem, tylko co oznacza skrót \(\displaystyle{ lin}\)?
Wymiar wynosi 2? Jeśli tak, to czy obrazem będzie \(\displaystyle{ R^{2}}\)?