wektory i wartości własne macierzy

[madaf007]

Mam takie zadanko:


\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&-2\\-2&0&-1\end{array}\right]}\)

a)Wyznaczyć wektor własny (lub liniowo niezależne wektory własne - w zależności od
sytuacji) odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ \delta = 1}\). Jaki jest wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej \(\displaystyle{ =1}\) macierzy A?

b)Znaleźć pozostałe wartości własne macierzy A.

c)Czy macierz A jest diagonalizowalna? Odpowiedź uzasadnij.

Ad. a)
Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ Ax-\delta x=0}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}x_1& & \\-2x_1&+x_2&-2x_3\\-2x_1& &-1x_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

0=0
\(\displaystyle{ -2x_1-2x_3=0\\
-2x_1-2x_3=0}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x_1=-x_3}\)
Więc wektor własny wynosi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-x_3\\0\\x_3\end{array}\right]}\)
Wymiar podprzestrzeni własnej wynosi 1 i jest postaci \(\displaystyle{ W_1=\{(-1,0,1)\}}\)

Ad. b)

\(\displaystyle{ \delta_1=\delta_2=1\\
\delta_3=-1}\)

Ad. c)Macierz jest diagonalizowalna, bo można ja sprowadzić do postaci przekątniowej, gdzie na jej przekątnej będą wartości własne.'

Czy to zadanie jest dobrze zrobione? I co oznacza "Wyznaczyć wektor własny (lub liniowo niezależne wektory własne - w zależności od sytuacji"? Jaka to mogłaby być sytuacja?
Proszę o pomoc:)

[mestali]

nie za bardzo, od MAcierzy A odejmujesz wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \lambda}\) i liczysz z tego wyznacnzik. Zera wielomianu wyznacznika są wartościami własnymi...
\(\displaystyle{ det(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda&0&0\\
-2&1-\lambda&-2\\
-2&0&1-\lambda
\end{array}\right|=}\)
z wyznacznika powyżej dostajesz wielomian. JAk już pisałem jego pierwiastkami są wartości własne, aby policzyćwektory własne liczysz trzy równania:
\(\displaystyle{ A-\lambda_i=0, i=1,2,3}\)
i dostajesz 3 wektory własne, które stanowią bazę

[madaf007]

nie za bardzo, od MAcierzy A odejmujesz wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \lambda}\) i liczysz z tego wyznacnzik. Zera wielomianu wyznacznika są wartościami własnymi...
\(\displaystyle{ det(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda&0&0\\
-2&1-\lambda&-2\\
-2&0&1-\lambda
\end{array}\right|=}\)
z wyznacznika powyżej dostajesz wielomian. JAk już pisałem jego pierwiastkami są wartości własne, aby policzyćwektory własne liczysz trzy równania:
\(\displaystyle{ A-\lambda_i=0, i=1,2,3}\)
i dostajesz 3 wektory własne, które stanowią bazę

No tak, ale w podpunkcie a) mamy podaną już jedną wartość własną i wynosi 1 i mamy podać jeden wektor własny. Więc do wyznaczenia wektora własnego przez daną wartość wystarczy \(\displaystyle{ Ax-\lambda x=0}\). W podpukcie b zastosowałem ten wzór i takie pierwiastki mi wyszły jakie podałem.