Mam daną macierz A.
Mam policzyć \(\displaystyle{ e^{A}}\).
Jak zwykle w takich przypadkach wyznaczyłem macierz w postaci kanonicznej Jordana. Teraz już z górki, ale co konkretnie mam zrobić??
Proszę o pomoc.
Funkcje macierzowe
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Funkcje macierzowe
Pamiętasz definicję eksponensa w postaci szeregu?
\(\displaystyle{ e^X= {\sum\limits_{n=0}^{\infty} } \frac{1}{n!} X^n}\)
Macierz w postaci Jordana rozbija się na niezależne klatki \(\displaystyle{ A\ \ J_1\oplus\cdots\oplus J_k}\) (gdzie \(\displaystyle{ J_1,\cdots,J_k}\) to klatki Jordana),
a dokładniej \(\displaystyle{ C\cdot A\cdot C_1 \ = \ ft(\begin{array}{ccc} J_1&\ldots&0\cr\vdots&\ddots&\vdots\cr 0&\ldots&J_k\end{array}\right)}\) dla pewnej macierzy nieosobliwej \(\displaystyle{ C}\)
Potęgując macierz \(\displaystyle{ A}\) dostajesz \(\displaystyle{ A^n\ \ {J_1}^n\oplus\cdots\oplu{J_k}^n}\). Aby obliczyć teraz \(\displaystyle{ e^A}\) wystarczy zobaczyć jak wyglądają kolejne potęgi klatek Jordana, a następnie skorzystać z przedstawienia w postaci szeregu...
\(\displaystyle{ e^X= {\sum\limits_{n=0}^{\infty} } \frac{1}{n!} X^n}\)
Macierz w postaci Jordana rozbija się na niezależne klatki \(\displaystyle{ A\ \ J_1\oplus\cdots\oplus J_k}\) (gdzie \(\displaystyle{ J_1,\cdots,J_k}\) to klatki Jordana),
a dokładniej \(\displaystyle{ C\cdot A\cdot C_1 \ = \ ft(\begin{array}{ccc} J_1&\ldots&0\cr\vdots&\ddots&\vdots\cr 0&\ldots&J_k\end{array}\right)}\) dla pewnej macierzy nieosobliwej \(\displaystyle{ C}\)
Potęgując macierz \(\displaystyle{ A}\) dostajesz \(\displaystyle{ A^n\ \ {J_1}^n\oplus\cdots\oplu{J_k}^n}\). Aby obliczyć teraz \(\displaystyle{ e^A}\) wystarczy zobaczyć jak wyglądają kolejne potęgi klatek Jordana, a następnie skorzystać z przedstawienia w postaci szeregu...