Funkcje macierzowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Wielki K
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 mar 2006, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kresy Wschodnie/WaWa
Podziękował: 1 raz

Funkcje macierzowe

Post autor: Wielki K »

Mam daną macierz A.

Mam policzyć \(\displaystyle{ e^{A}}\).


Jak zwykle w takich przypadkach wyznaczyłem macierz w postaci kanonicznej Jordana. Teraz już z górki, ale co konkretnie mam zrobić??
Proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Funkcje macierzowe

Post autor: Sir George »

Pamiętasz definicję eksponensa w postaci szeregu?
\(\displaystyle{ e^X= {\sum\limits_{n=0}^{\infty} } \frac{1}{n!} X^n}\)

Macierz w postaci Jordana rozbija się na niezależne klatki \(\displaystyle{ A\ \ J_1\oplus\cdots\oplus J_k}\) (gdzie \(\displaystyle{ J_1,\cdots,J_k}\) to klatki Jordana),
a dokładniej \(\displaystyle{ C\cdot A\cdot C_1 \ = \ ft(\begin{array}{ccc} J_1&\ldots&0\cr\vdots&\ddots&\vdots\cr 0&\ldots&J_k\end{array}\right)}\) dla pewnej macierzy nieosobliwej \(\displaystyle{ C}\)

Potęgując macierz \(\displaystyle{ A}\) dostajesz \(\displaystyle{ A^n\ \ {J_1}^n\oplus\cdots\oplu{J_k}^n}\). Aby obliczyć teraz \(\displaystyle{ e^A}\) wystarczy zobaczyć jak wyglądają kolejne potęgi klatek Jordana, a następnie skorzystać z przedstawienia w postaci szeregu...
ODPOWIEDZ