Witam, mam problem z następującym zadaniem, potrzebuje wskazówek jak je rozwiązać najprościej, treść brzmi następująco:
Dla podanych parametrów a i b rozwiązać układ równań stosując twierdzenie Kroneckera - Capelliego:
.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}-3x_{3}-x_{4}=0\\x_{1}-2x_{2}+x_{4}=-1\\x_{1}-x_{2}-x_{3}=5\end{cases}}\)
Z góry dzięki za wskazówki
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
-
Krzysiek.M
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bochnia
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
Od razu możesz podać odpowiedź:Dla podanych parametrów a i b rozwiązać układ równań stosując twierdzenie Kroneckera - Capelliego:
"Twierdzenie Kroneckera-Capelliego nie służy do rozwiązywania układów równań, tylko do sprawdzania ich rozwiązywalności".
Pozdrawiam.
-
Krzysiek.M
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bochnia
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
Pardon Za parametry już podstawiłem liczby, w zadaniu za A mam podstawić ostatnią liczbę mojego albumu czyli 0, a za B przedostatnią liczbę czyli 1, układ początkowo wyglądał tak:Zordon pisze:gdzie są te parametry?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}-3x_{3}-x_{4}=0\\x_{1}-2x_{2}+x_{4}=1-2b\\x_{1}-x_{2}-x_{3}=5+a\end{cases}}\)
Umysł dziś nie funkcjonuje do końca
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
Musisz obliczyć rząd macierzy głównej układu i macierzy z dołączoną kolumną wyrazow wolnych, na podstawie tego i powyższego Tw. określasz liczbę rozwiązań.
-
Krzysiek.M
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bochnia
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
Witam, czy dobrze rozpisuje macierz by policzyć wyznacznik macierzy W oraz uzupełnionej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-3\\1&-2&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi wyznacznik -6 następnie piszę macierz uzupełnioną
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\1&-2&0&1\\1&0&-1&0\end{array}\right]}\)
Pytanie takie, jak obliczyć z takiej macierzy wyznacznik ?
\(\displaystyle{ Det(U)=0*A12+(-2)*A22+0*A32}\)
I wychodzi mi z M22 macierz o wymiarach 2X3 więc nie dam rady tego wyliczyć, kto ma pomysł inny?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-3\\1&-2&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi wyznacznik -6 następnie piszę macierz uzupełnioną
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\1&-2&0&1\\1&0&-1&0\end{array}\right]}\)
Pytanie takie, jak obliczyć z takiej macierzy wyznacznik ?
\(\displaystyle{ Det(U)=0*A12+(-2)*A22+0*A32}\)
I wychodzi mi z M22 macierz o wymiarach 2X3 więc nie dam rady tego wyliczyć, kto ma pomysł inny?
-
Herbivorous
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 05:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
Układ Równan metodą Knockera-Capelliego
Wyznacznik można liczyć tylko macierzy kwadratowej.
Tw. Kroneckera-Capelliego brzmi mniej więcej tak:
Układ równań liniowych posiada rozwiązanie (jedno lub nieskończoność)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej układu. Równoznacznie: układ jest sprzeczny\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)te rzędy są różne.
Mamy 4 zmienne i 3 równania, więc macierz główna jest 3x4, a rozszerzona 3x5.
Liczymy rząd macierzy rozszerzonej:
skorzystam z faktu, że jeśli macierz posiada niezerowy minor o maksymalnym wymiarze n (czyli ten mniejszy z wymiarów tej macierzy), to rząd macierzy jest n.
\(\displaystyle{ W}\):=[minor składający się z pierwszych trzech(tzw. minor główny) kolumn]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&-3\\1&-2&0\\1&-1&-1\end{array}\right|}\)=[metodą Sarrusa]=0+3+0-6-0+1=-2\(\displaystyle{ \neq}\)0, więc
rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}0&1&-3&-1&0\\1&-2&0&1&1-2b\\1&-1&-1&0&5+a\end{array}\right]}\)=3
Ten sam minor jest maksymalnym minorem macierzy głównej więc tym sposobem łatwo dostajemy, że rząd macierzy głównej jest też 3.
{Dla macierzy o większych wymiarach może być łatwiej liczyć rząd mniej więcej tak:
rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-3&-1\\1&-2&0&1\\1&-1&-1&0\end{array}\right]}\)=[dodaję 1. kolumnę do trzeciej]=rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\1&-2&1&1\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)=[mnożę drugą kolumnę przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dodaję to pozostałych kolumn]=rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\0&-2&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)=3}
Z tw. Kroneckera-Capelliego układ posiada jakieś rozwiązanie dla dowolnych a i b.
Aby rozwiązać układ skorzystamy z tw. Cramera. Potrzebujemy, aby ilość zmiennych była równa ilości równań (w naszym przypadku 1 zmienną uznamy jako parametr) oraz aby macierz główna nowego układu (3 równań z 3 niewiadomymi - kwadratowa) miała wyznacznik\(\displaystyle{ \neq}\)0. Niewiadome\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\) będą dobre, bo już wiemy, że minor składający się z 3 pierwszych kolumn jest\(\displaystyle{ \neq}\)0. Zatem przyjmiemy jako parametr \(\displaystyle{ x_{4}}\)=:s. Powstaje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}-3x_{3}=s\\x_{1}-2x_{2}=1-2b-s\\x_{1}-x_{2}-x_{3}=5+a\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W_{x}_{1}}\)=[za kolumnę \(\displaystyle{ x_{1}}\) wstawiamy kolumnę wyrazów wolnych]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}s&1&-3\\1-2b-s&-2&0\\5+a&-1&-1\end{array}\right|}\)=[mnożę ostatni wiersz przez -3 i dodaję do pierwszego]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}s-15-3a&4&0\\1-2b-s&-2&0\\5+a&-1&-1\end{array}\right|}\)=[rozwinięcie Laplace'a względem trzeciej kolumny]=
=-\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}s-15-3a&4\\1-2b-s&-2\end{array}\right|}\)=[ostatnia kolumna *(-\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))]=
2\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}s-15-3a&-2\\1-2b-s&1\end{array}\right|}\)=2(s-15-3a+2-4b-2s)=-26-6a-8b-2s
Tak samo liczymy \(\displaystyle{ W_{x}_{2}}\):
\(\displaystyle{ W_{x}_{2}}\)=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&s&-3\\1&1-2b-s&0\\1&5+a&-1\end{array}\right|}\)=[od razu z Sarrusa]=(-3)*(5+a)-(-3)(1-2b-s)-(-1)s=-15-3a+3-6b-3s+s=-12-3a-6b-2s
Jeszcze \(\displaystyle{ W_{x}_{3}}\):
\(\displaystyle{ W_{x}_{3}}\)=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&s\\1&-2&1-2b-s\\1&-1&5+a\end{array}\right|}\)=[pierwszy rząd dodaję do trzeciego oraz podwojony pierwszy do drugiego]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&s\\1&0&1-2b+s\\1&0&5+a+s\end{array}\right|}\)=[rozwijam względem drugiej kolumny]=-\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&1-2b+s\\1&5+a+s\end{array}\right|}\)=1-2b+s-5-a-s=-4-a-2b
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{W_{x}_{1}}{W}=\frac{-26-6a-8b-2s}{-2}=13+3a+4b+s}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{W_{x}_{2}}{W}=\frac{-12-3a-6b-2s}{-2}=6+\frac{3a}{2}+3b+s}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=\frac{W_{x}_{3}}{W}=\frac{-4-a-2b}{-2}=2+\frac{a}{2}+b}\)
a i b w ogóle nie wpływają na liczbę rozwiązań, bo dla dowolnych a i b rzędy które liczyliśmy są równe oraz wyznacznik główny jest\(\displaystyle{ \neq}\)0. Ostateczna odpowiedź:
Rozwiązania układu to \(\displaystyle{ (13+3a+4b+s,6+\frac{3a}{2}+3b+s,2+\frac{a}{2}+b,s)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in R}\), \(\displaystyle{ b\in R}\) i \(\displaystyle{ s\in R}\).
Tw. Kroneckera-Capelliego brzmi mniej więcej tak:
Układ równań liniowych posiada rozwiązanie (jedno lub nieskończoność)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej układu. Równoznacznie: układ jest sprzeczny\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)te rzędy są różne.
Mamy 4 zmienne i 3 równania, więc macierz główna jest 3x4, a rozszerzona 3x5.
Liczymy rząd macierzy rozszerzonej:
skorzystam z faktu, że jeśli macierz posiada niezerowy minor o maksymalnym wymiarze n (czyli ten mniejszy z wymiarów tej macierzy), to rząd macierzy jest n.
\(\displaystyle{ W}\):=[minor składający się z pierwszych trzech(tzw. minor główny) kolumn]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&-3\\1&-2&0\\1&-1&-1\end{array}\right|}\)=[metodą Sarrusa]=0+3+0-6-0+1=-2\(\displaystyle{ \neq}\)0, więc
rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}0&1&-3&-1&0\\1&-2&0&1&1-2b\\1&-1&-1&0&5+a\end{array}\right]}\)=3
Ten sam minor jest maksymalnym minorem macierzy głównej więc tym sposobem łatwo dostajemy, że rząd macierzy głównej jest też 3.
{Dla macierzy o większych wymiarach może być łatwiej liczyć rząd mniej więcej tak:
rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-3&-1\\1&-2&0&1\\1&-1&-1&0\end{array}\right]}\)=[dodaję 1. kolumnę do trzeciej]=rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\1&-2&1&1\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)=[mnożę drugą kolumnę przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dodaję to pozostałych kolumn]=rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&-3&-1\\0&-2&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)=3}
Z tw. Kroneckera-Capelliego układ posiada jakieś rozwiązanie dla dowolnych a i b.
Aby rozwiązać układ skorzystamy z tw. Cramera. Potrzebujemy, aby ilość zmiennych była równa ilości równań (w naszym przypadku 1 zmienną uznamy jako parametr) oraz aby macierz główna nowego układu (3 równań z 3 niewiadomymi - kwadratowa) miała wyznacznik\(\displaystyle{ \neq}\)0. Niewiadome\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\) będą dobre, bo już wiemy, że minor składający się z 3 pierwszych kolumn jest\(\displaystyle{ \neq}\)0. Zatem przyjmiemy jako parametr \(\displaystyle{ x_{4}}\)=:s. Powstaje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}-3x_{3}=s\\x_{1}-2x_{2}=1-2b-s\\x_{1}-x_{2}-x_{3}=5+a\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W_{x}_{1}}\)=[za kolumnę \(\displaystyle{ x_{1}}\) wstawiamy kolumnę wyrazów wolnych]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}s&1&-3\\1-2b-s&-2&0\\5+a&-1&-1\end{array}\right|}\)=[mnożę ostatni wiersz przez -3 i dodaję do pierwszego]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}s-15-3a&4&0\\1-2b-s&-2&0\\5+a&-1&-1\end{array}\right|}\)=[rozwinięcie Laplace'a względem trzeciej kolumny]=
=-\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}s-15-3a&4\\1-2b-s&-2\end{array}\right|}\)=[ostatnia kolumna *(-\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))]=
2\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}s-15-3a&-2\\1-2b-s&1\end{array}\right|}\)=2(s-15-3a+2-4b-2s)=-26-6a-8b-2s
Tak samo liczymy \(\displaystyle{ W_{x}_{2}}\):
\(\displaystyle{ W_{x}_{2}}\)=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&s&-3\\1&1-2b-s&0\\1&5+a&-1\end{array}\right|}\)=[od razu z Sarrusa]=(-3)*(5+a)-(-3)(1-2b-s)-(-1)s=-15-3a+3-6b-3s+s=-12-3a-6b-2s
Jeszcze \(\displaystyle{ W_{x}_{3}}\):
\(\displaystyle{ W_{x}_{3}}\)=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&s\\1&-2&1-2b-s\\1&-1&5+a\end{array}\right|}\)=[pierwszy rząd dodaję do trzeciego oraz podwojony pierwszy do drugiego]=\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&1&s\\1&0&1-2b+s\\1&0&5+a+s\end{array}\right|}\)=[rozwijam względem drugiej kolumny]=-\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&1-2b+s\\1&5+a+s\end{array}\right|}\)=1-2b+s-5-a-s=-4-a-2b
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{W_{x}_{1}}{W}=\frac{-26-6a-8b-2s}{-2}=13+3a+4b+s}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{W_{x}_{2}}{W}=\frac{-12-3a-6b-2s}{-2}=6+\frac{3a}{2}+3b+s}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=\frac{W_{x}_{3}}{W}=\frac{-4-a-2b}{-2}=2+\frac{a}{2}+b}\)
a i b w ogóle nie wpływają na liczbę rozwiązań, bo dla dowolnych a i b rzędy które liczyliśmy są równe oraz wyznacznik główny jest\(\displaystyle{ \neq}\)0. Ostateczna odpowiedź:
Rozwiązania układu to \(\displaystyle{ (13+3a+4b+s,6+\frac{3a}{2}+3b+s,2+\frac{a}{2}+b,s)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in R}\), \(\displaystyle{ b\in R}\) i \(\displaystyle{ s\in R}\).