Cześć,
mam taką macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&4&-4\\1&2&-1\\3&4&-2\end{bmatrix}}\)
i pytanie w zadaniu: czy jest ona diagonalizowalna?
Ja bym to tak zrobił:
mamy ten wzór:
\(\displaystyle{ U^{-1}AU=diag( \lambda j)}\)
najpierw wyznaczyłbym wektory własne, ponieważ mam napisane w zeszycie, że kolumnami macierzy \(\displaystyle{ U}\) są wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\), a więc gdyby liczba wektorów własnych była różna od \(\displaystyle{ 3}\) tzn., że nie jest diagonalizowalna, ponieważ nie mógłbym tej macierzy \(\displaystyle{ U}\) pomnożyć przez \(\displaystyle{ A}\) (?). Gdyby były \(\displaystyle{ 3}\) to znaczy, że jest diagonalizowalna, ponieważ mogę ją wyznaczyć ze wzoru.
Czy dobrze myślę?
Pozdrawiam i dziękuję z góry za pomoc.
Czy macierz jest diagonalizowalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Czy macierz jest diagonalizowalna.
Nie musisz szukać wektorów własnych, jeśli masz tylko określić diagonalizowalność.
Wystarczy sprawdzić, czy przestrzenie własne mają maksymalne wymiary (a to się robi za pomocą rzędów macierzy).
Tzn. sprawdzasz, czy dla każdej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_i}\) o krotności \(\displaystyle{ k_i}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) masz \(\displaystyle{ r(A-\lambda_i I)=k_i}\).
Pozdrawiam.
Wystarczy sprawdzić, czy przestrzenie własne mają maksymalne wymiary (a to się robi za pomocą rzędów macierzy).
Tzn. sprawdzasz, czy dla każdej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_i}\) o krotności \(\displaystyle{ k_i}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) masz \(\displaystyle{ r(A-\lambda_i I)=k_i}\).
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Czy macierz jest diagonalizowalna.
Tak, pod warunkiem, że piszącnwnuinr pisze:ok, a mój sposób też jest poprawny?
masz na myśli liczbę wektorów liniowo niezależnych.nwnuinr pisze:Gdyby były 3 to znaczy, że jest diagonalizowalna
Pozdrawiam.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Czy macierz jest diagonalizowalna.
Jest jedno ale do tego co napisała BettyBoo, licząc rząd zliczamy liniowo niezależne kolumny
czyli w tym przypadku może to się wiązać z wyznaczeniem wektorów własnych
Są tylko dwa liniowo niezależne wektory własne po jednym dla każdej różnej wartości własnej
czyli w tym przypadku może to się wiązać z wyznaczeniem wektorów własnych
Są tylko dwa liniowo niezależne wektory własne po jednym dla każdej różnej wartości własnej