Czy macierz jest diagonalizowalna.

[nwnuinr]

Cześć,

mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&4&-4\\1&2&-1\\3&4&-2\end{bmatrix}}\)

i pytanie w zadaniu: czy jest ona diagonalizowalna?

Ja bym to tak zrobił:
mamy ten wzór:

\(\displaystyle{ U^{-1}AU=diag( \lambda j)}\)

najpierw wyznaczyłbym wektory własne, ponieważ mam napisane w zeszycie, że kolumnami macierzy \(\displaystyle{ U}\) są wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\), a więc gdyby liczba wektorów własnych była różna od \(\displaystyle{ 3}\) tzn., że nie jest diagonalizowalna, ponieważ nie mógłbym tej macierzy \(\displaystyle{ U}\) pomnożyć przez \(\displaystyle{ A}\) (?). Gdyby były \(\displaystyle{ 3}\) to znaczy, że jest diagonalizowalna, ponieważ mogę ją wyznaczyć ze wzoru.

Czy dobrze myślę?

Pozdrawiam i dziękuję z góry za pomoc.

[BettyBoo]

Nie musisz szukać wektorów własnych, jeśli masz tylko określić diagonalizowalność.

Wystarczy sprawdzić, czy przestrzenie własne mają maksymalne wymiary (a to się robi za pomocą rzędów macierzy).

Tzn. sprawdzasz, czy dla każdej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_i}\) o krotności \(\displaystyle{ k_i}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) masz \(\displaystyle{ r(A-\lambda_i I)=k_i}\).

Pozdrawiam.

[nwnuinr]

ok, a mój sposób też jest poprawny?

[BettyBoo]

ok, a mój sposób też jest poprawny?

Tak, pod warunkiem, że pisząc

Gdyby były 3 to znaczy, że jest diagonalizowalna

masz na myśli liczbę wektorów liniowo niezależnych.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Jest jedno ale do tego co napisała BettyBoo, licząc rząd zliczamy liniowo niezależne kolumny
czyli w tym przypadku może to się wiązać z wyznaczeniem wektorów własnych

Są tylko dwa liniowo niezależne wektory własne po jednym dla każdej różnej wartości własnej