Macierz przekształcenia

[matti90]

Witam, mam trudność z takim oto zadaniem( nie wiem w ogóle jak się za to zabrać, nic nie wiem o takiego typu zadaniach;():
Dane jest przekształcenie \(\displaystyle{ g: R^{2} \rightarrow R^{3}}\) takie, że \(\displaystyle{ g(1,2)=(1,1,1), g(0,1)=(1,0,1)}\). Znaleźć macierz przekształcenia g, jeżeli w przestrzeni\(\displaystyle{ R^{2}}\) bazą jest : \(\displaystyle{ \alpha = \{\((1,0),(-1,2)\}}\) natomiast \(\displaystyle{ R^{3}:\beta=\{\(1,2,0),(1,1,1),(0,0,1)\}}\)
Jakieś pomysły, bo ja 0:D

[bstq]

juz wiem, potrzeba tylko:
\(\displaystyle{ g\left(2\cdot\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)=\left(1,1,1\right)=\beta_{2}=\left[0,1,0\right]\cdot\underline{\beta}}\)
\(\displaystyle{ g\left(\frac{1}{2}\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2}\right)=\left(1,0,1\right)=\left(1,0,0\right)+\left(0,0,1\right)=\left(1,0,0\right)+\beta_{3}=\left[\left(2,2,2\right)-\left(1,2,0\right)-2\cdot\left(0,0,1\right)\right]+\beta_{3}=2\cdot\beta_{2}-\beta_{1}-\beta_{3}=\left[-1,2,-1\right]\cdot\underline{\beta}}\)
te wyliczenia są zbędne:
\(\displaystyle{ \left(0,1\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(0,2\right)=\frac{1}{2}\left[\left(1,0\right)+\left(-1,2\right)\right]=\frac{1}{2}\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(1,2\right)=\left(1,0\right)+\left(0,2\right)=\left(1,0\right)+\left[\left(1,0\right)+\left(-1,2\right)\right]=2\cdot\left(1,0\right)+\left(-1,2\right)=2\cdot\alpha_{1}+\alpha_{2}}\)

wynik
przeksztalcenie g w bazach alfa i beta jest dane macierza:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}
0 & -1\\
1 & 2\\
0 & -1\end{array}\right]}\)
robilem w oparciu o :
... yk.C5.82ad

[matti90]

Ja już chyba wiem, jak powinno być, tak mi się przynajmniej wydaję. To moje obliczenia?:
\(\displaystyle{ g(1,0)=g((1,2)- 2(0,1))=g(1,2)-2g(0,1)=(1,1,1)-2(1,0,1)=(-1,1,-1)}\)
wtedy: \(\displaystyle{ (-1,1,-1)= a(1,2,0)+b(1,1,1)+c(0,0,1)}\)
po obliczeniu tego wyjdzie: \(\displaystyle{ a=2,b=-3,c=2}\)
nastepnie dla drugiego :\(\displaystyle{ g(-1,2)=g(4(0,1)-(1,2))=4g(0,1)-g(1,2)=(4,0,4)-(1,1,1)=(3,-1,3)}\)
i wtedy: \(\displaystyle{ (3,-1,3)=a(1,2,0)+b(1,1,1)+c(0,0,1)}\) i po obliczeniu tego \(\displaystyle{ a=-4,b=7,c=-4}\)
i teraz mozna sie zabrac za macierz i bedzie ona taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-4\\-3&7\\2&-4\end{array}\right]}\)
Czy dobrze mysle?-- 29 grudnia 2009, 19:48 --Moglby ktos spojrzec na to??