macierze- pytania z teorii

[MateuszekPo]

Siedze ostatnio troche przy macierzach, rozwiazuje zadania, ale dostałem kilka pytań z teorii i z tym mam problemy. Jeśli ktoś by był tak miły i postarał się mi pomóc to będe bardzo wdzięczny. Szukałem troche w internecie ale oczywistych odpowiedzi nie znalazłem.
1)Związek mnożenia macierzy i odwracania z przekształceniami liniowymi.
2)Wartości własne macierzy-po co się oblicza.
3)W operacjach: obliczanie det, iloczynu wektorowego, odwracania macierzy nie wolno się pomylic (dlaczego)?

[bstq]

ad 2)
- zobaczyć czy macierz jest dodatnio określona (macierz symetryczna jest dodatnio określona jeśli wszystkie jej wartości własne są dodatnie), a macierz dodatnio określoną możemy łatwo pierwiastkować, tzn. znaleźć macierz \(\displaystyle{ B=A^{\frac{1}{2}}:\; B^{T}B=A}\)
- żeby obliczyć jej rozkład spektralny(A-symetryczna) \(\displaystyle{ A=B^{T}\Gamma B}\), gdzie \(\displaystyle{ \Gamma=diag(wartosci\; wlasne)}\), czyli każdą macierz możemy zapisać w postaci: \(\displaystyle{ A=\sum_{i=1}^{dimA}\lambda_{i}a_{i}a_{i}^{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\)- wektor własny A odpowiadajacy wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\)
- żeby obliczyć wyznacznik macierzy z rozkładu spektralnego:
\(\displaystyle{ det\left(A\right)=det\left(B^{T}\Gamma B\right)\overset{wlasnosc\; det}{=}det\left(B^{T}B\Gamma\right)\overset{B-ortogonalna}{=}det\left(I\cdot\Gamma\right)\overset{\Gamma-diagonalna}{=}\lambda_{1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{dimA}}\)

[Yaco_89]

Ad.1)
Znasz takie pojęcie jak macierz odwzorowania liniowego? No to jeśli mamy np. macierz F odwzorowania f i macierz G odwzorowania g i możliwe jest wykonanie mnożenia macierzy FG to otrzymamy macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f\circ g}\)
No a jeśli odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f}\) jest odwracalne, to istnieje odwzorowanie odwrotne \(\displaystyle{ f^{-1}}\) i jego macierzą jest macierz odwrotna do macierzy odwz. f.
Ad. 3) no chyba generalnie w matematyce jak się coś oblicza to powinno się to robić bez błędów nie?

[bstq]

ad 3) obliczanie iloczynu wektorowego, to obliczanie pewnego wyznacznika wiec wystarczy powiedziec czemu nie nalezy mylić się przy obliczaniu det i macierzy odwrotnej,
bo są to operacje sekwencyjne, tzn. jeśli pomylisz się w jednym miejscu, to później wszystko źle liczysz, wynik każdego działania zależy od wyniku działania poprzedniego

[MateuszekPo]

Wielkie dzięki wszystkim za pomoc. nie spodziewałem sie ze tak szybko dostane odpowiedz. super