przestrzeń afiniczna i rzutowa

[rego]

Witam!
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć tak "na chłopski rozum" na czym polega różnica pomiędzy przestrzenią afiniczną a rzutową?
może na przykładzie elipsoidy?
zgóry dziękuję
Pozdrawiam.

[max]

Różnica jest taka, że w przestrzeni rzutowej:
-nie ma punktu \(\displaystyle{ (0,\ldots, 0)}\)
-punkty \(\displaystyle{ (x_{1}, \ldots, x_{n})}\) i \(\displaystyle{ (\lambda x_{1},\ldots, \lambda x_{n})}\) są ze sobą utożsamione.
W konsekwencji np żeby opisać zbiór algebraiczny w \(\displaystyle{ \mathbb{P}_{K}^{n}}\) musimy ograniczyć się do wielomianów jednorodnych - bo skoro wielomian ma się zerować w punkcie \(\displaystyle{ (x_{1} \ : \ \ldots \ :\ x_{n}),}\) to i w każdym utożsamionym z nim \(\displaystyle{ (\lambda x_{1}\ : \ \ldots \ : \ \lambda x_{n}).}\)
W szczególności nie ma mowy w przestrzeni rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{P}^{3}_{\mathbb{C}}}\) o zbiorze zer wielomianu:
\(\displaystyle{ ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + d\in \mathbb{C}[x,y,z]}\)
dla \(\displaystyle{ d \neq 0}\) (bo zeruje się on w punkcie \(\displaystyle{ (\sqrt{d}, 0 , 0)\in A^{3}(K)}\) ale w utożsamionym z nim w przestrzeni rzutowej punkcie \(\displaystyle{ (2\sqrt{d}, 0, 0)}\) już nie).
Można co najwyżej rozpatrywać zbiór zer ujednorodnienia takiego wielomianu, czyli:
\(\displaystyle{ ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dw^{2}\in \mathbb{C}[x,y,z,w]}\)
w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{4}.}\)
-mamy twierdzenie Bezouta uogólniające fakt, że w przestrzeni rzutowej każde dwie (różne) proste mają dokładnie jeden punkt wspólny (czyli "nie ma prostych równoległych").

[rego]

...
W szczególności nie ma mowy w przestrzeni rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{P}^{3}_{\mathbb{C}}}\) o zbiorze zer wielomianu:
\(\displaystyle{ ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + d\in \mathbb{C}[x,y,z]}\)
dla \(\displaystyle{ d \neq 0}\) (bo zeruje się on w punkcie \(\displaystyle{ (\sqrt{d}, 0 , 0)\in A^{3}(K)}\) ale w utożsamionym z nim w przestrzeni rzutowej punkcie \(\displaystyle{ (2\sqrt{d}, 0, 0)}\) już nie).
...

napewno zeruje się w tym punkcie? po wstawieniu \(\displaystyle{ (\sqrt{d}, 0 , 0)}\) do wielomianu \(\displaystyle{ ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + d}\) dostajemy \(\displaystyle{ ad+d}\) chyba, że ja coś tutaj źle kombinuję.

PS jest jakaś polska literatura na ten temat?

Pozdrawiam!

[max]

Sorki, powinno być \(\displaystyle{ \left(\frac{i\sqrt{d}}{\sqrt{a}}, 0 ,0\right).}\)
Nie słyszałem o żadnej książce o geometrii algebraicznej po polsku.

[rego]

a jaką książkę mógłbyś polecić?? Mam Fultona: An Introduction to algebraic curves i jeszcze Gibsona Elementary Geometry of algebraic curves dzisiaj to wypożyczyłem... Myślisz że to ędzie dobre?

[max]

Słyszałem, że dobrym podręcznikiem jest 'Basic algebraic geometry' Szafarewicza w tłumaczeniu Milesa Reida (kolega z uczelni dostał to jako lekturę jak mu się nie udało uruchomić kursu z geometrii algebraicznej).

-- 4 stycznia 2010, 20:15 --

Możesz też przejrzeć dostępne w internecie notatki .

[p_pokora]

Książek do polecenia jest kilka :
Joe Harris : Algebraic Geometry, A First Course - Springer Verlag
Hartshorne: Algebraic Geometry - Springer Verlag
Shafarevich: Algebraic Geometry
Natomiast fajną książką na początek z wieloma przykładami i z teorią algebraicznych zbiorów rzutowych jest Algebraic Geometry: An Introduction (Universitext) : Daniel Perrin.
Pozdrawiam