macierze symetryczne i dodatnio określone

[Zag?oba]

O macierzach, o których będzie mowa zakładamy, że są kwadratowe, nieosobliwe, oraz że ich elementami są liczby rzeczywiste (można rozważać ciało liczb zespolonych, jednak dla mnie wystarczają liczby rzeczywiste).

1.Pokazać, że \(\displaystyle{ A^{T}A}\) to macierz dodatnio określona.
2.Pokazać, że jeśli macierz S symetryczna to istnieje baza ortonormalna złożona z wektorów własnych macierzy S.
3.Pokazać, że jeśli S jest macierzą dodatnio określoną to istnieje jedyny pierwiastek B (również macierz dodatnio określona) taki, że \(\displaystyle{ B^{2}=S}\).

Nie oczekuje pełnych dowodów, mile widziany będzie każdy pomysł, który pomoże zapisać te dowody w możliwie prosty(rachunkowo) sposób.

[Qń]

Ad 1.
Dla \(\displaystyle{ x\neq \vec{0}}\) mamy:
\(\displaystyle{ x^T(A^TA) x= (Ax)^TAx= ||Ax||^2 > 0}\)

Q.

[max]

3. Istnienie wynika z 2:
Skoro istnieje baza ortonormalna składająca się wektorów własnych, to istnieje macierz ortogonalna (macierz przejścia między tą bazą a standardową bazą ortonormalnej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\)) \(\displaystyle{ o}\) taka, że \(\displaystyle{ S = o^{-1}\text{diag}(\lambda_{1},\ldots, \lambda_{n})o,}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} > 0,}\) (bo \(\displaystyle{ S}\) była dodatnio określona) a \(\displaystyle{ \text{diag}(\lambda_{1},\ldots, \lambda_{n})}\) oznacza macierz diagonalną o wyrazach na przekątnej \(\displaystyle{ \lambda_{1},\ldots, \lambda_{n}.}\)
Pierwiastkiem macierzy \(\displaystyle{ S}\) jest wówczas macierz:
\(\displaystyle{ o^{-1}\text{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}},\ldots, \sqrt{\lambda_{n}}\right)o.}\)

[Zordon]

3. jedyność wynika z tego, że pierwiastek ten musi mieć diagonalną postać Jordana (dlaczego nie może mieć żadnej klatki?), oraz skoro jest dodatnio określony to na przekątnej muszą być dodatnie liczby. Po podniesieniu do kwadratu mamy dostać \(\displaystyle{ o^{-1}\text{diag}(\lambda_{1},\ldots, \lambda_{n})o}\) skąd już wynika jakie muszą być liczby na przekątnej.

2. tutaj można przez indukcję względem rozmiaru macierzy, najlepiej chyba zacząć od przypadku zespolonego

[max]

2. Ja na algebrze liniowej miałem taki dowód:
Indukcja względem \(\displaystyle{ n}\)
-dla \(\displaystyle{ n=1}\) teza jest natychmiastowa.
-krok indukcyjny:
Rozpatrujemy formę kwadratową \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}}\) o macierzy \(\displaystyle{ S.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem ciągłym, to na zbiorze zwartym \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\) osiąga maksimum. Niech \(\displaystyle{ e_{1}\in\mathbb{S}^{n-1}}\) będzie wektorem na którym maksimum to jest osiągane. Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie dopełnieniem ortogonalnym \(\displaystyle{ \text{span}\{e_{1}\}.}\) Macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ f|_{V}}\) jest macierzą symetryczną \(\displaystyle{ n-1}\) wymiarową, więc z założenia indukcyjnego istnieje baza ortonormalna \(\displaystyle{ e_{2},\ldots, e_{n}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), w której macierz ta ma postać diagonalną. Oznacza to, że dla formy dwuliniowej symetrycznej \(\displaystyle{ F:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}}\) skojarzonej z \(\displaystyle{ f}\) (tzn takiej, że \(\displaystyle{ f(v) = F(v,v)}\)) mamy \(\displaystyle{ F(e_{i}, e_{j}) = 0,}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ 1 < i < j.}\)
Wystarczy wykazać jeszcze, że \(\displaystyle{ F(e_{1}, e_{j}) = 0,}\) dla \(\displaystyle{ j > 1.}\)
Ustalmy w tym celu \(\displaystyle{ j > 1}\) i rozpatrzmy funkcję
\(\displaystyle{ g:\mathbb{R}\ni t \mapsto f(\cos t \cdot e_{1} + \sin t \cdot e_{j})\in \mathbb{R}.}\)
Funkcja ta jest różniczkowalna i osiąga maksimum w \(\displaystyle{ 0}\) (bo \(\displaystyle{ \cos t \cdot e_{1} + \sin t \cdot e_{j} \in \mathbb{S}^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ f|_{\mathbb{S}^{n-1}}}\) przyjmowała maksimum w \(\displaystyle{ e_{1}}\)), zatem \(\displaystyle{ g'(0) = 0.}\) Ale \(\displaystyle{ g'(0) = F(e_{1}, e_{j}),}\) więc otrzymaliśmy równość kończącą dowód.

[Zordon]

Rozpatrujemy formę kwadratową \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}}\) o macierzy \(\displaystyle{ S.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem ciągłym, to na zbiorze zwartym \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\) osiąga maksimum.

brzyyydko Można to udowodnić bez analizy, chociaż dowód jest wtedy dłuższy.

[max]

Cóż, istnieją różne kryteria estetyki. Np równość:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx = \sqrt{\pi},}\)
można dowodzić nie wspominając słowem o całkach podwójnych, niemniej jednak na ogół się tego nie robi. Nie wiem czy to dobrze, czy źle, ale moim zdaniem warto zauważać, gdzie się tylko da, że matematyka nie jest li tylko zbiorem nie związanych ze sobą stwierdzeń.
Pozdrawiam.

[Zag?oba]

Dzięki wielkie za odpowiedzi, naprawde bardzo mi pomogliście.