Przekształcenia liniowe (jądro i obraz) - sprawdzenie.

[nwnuinr]

Cześć,

chciałbym kogoś prosić o sprawdzenie moich wyników:

Wyznacz jądra, obrazy i ich bazy podanych przekształceń liniowych:

a) \(\displaystyle{ L:R^{2} \rightarrow R^{2}, L(x,y)=(2x-y,3y-6x);}\)
b) \(\displaystyle{ L:R^{3} \rightarrow R^{4}, L(x,y,z)=(2x-y-z,x+y+4z,3x+y+5z,-x-z);}\)

a) \(\displaystyle{ KerL = span\{(1,2)\}}\), baza \(\displaystyle{ \{(1,2)\}}\)
\(\displaystyle{ ImL = span\{(2,-6),(-1,3)\}}\), baza \(\displaystyle{ \{(2,-6)\}}\) lub \(\displaystyle{ \{(-1,3)\}}\)

b) \(\displaystyle{ KerL = span\{(1,3,-1)\}}\), baza \(\displaystyle{ \{(1,3,-3)\}}\)
\(\displaystyle{ ImL = span\{(2,1,2,-1),(-1,1,1,0),(-1,4,5,-1)\}}\), baza np. \(\displaystyle{ \{(2,1,2,-1),(-1,1,1,0)\}}\)

Pozdrawiam i dzięki z góry za pomoc.

[BettyBoo]

Prawie dobrze, (pierwszy wektor w b) to \(\displaystyle{ (2,1,3,-1)}\), ale to pewnie chochlik drukarski ) ale jedna odpowiedź wystarczy, nie musisz podawać alternatywnych baz, chyba że jest to wyraźnie zaznaczone w zadaniu.

Pozdrawiam.

[nwnuinr]

mam jeszcze jeden przykład:

Podaj obraz przekształcenia liniowego.
\(\displaystyle{ L:R^{2} \rightarrow R^{2}, L(x,y,z)=(x+y,y+z);}\)

no i mi wyszło:

\(\displaystyle{ ImL=\{(x+y,y+z):x,y,z \in \mathbb{R}\}=\{(x,0)+(y,y)+(0,z):x,y,z \in \mathbb{R} \}=span \{(1,0),(1,1),(0,1)\}}\)

A w odpowiedzi mam napisane \(\displaystyle{ ImL=R^{2}}\). Czy to jest źle czy może dlatego, że każdy wektor \(\displaystyle{ (1,0), (1,1)}\) lub \(\displaystyle{ (0,1)}\) mogę zapisać jako ich kombinacje liniowe (np. \(\displaystyle{ (1,1)=(1,0)+(0,1)}\)) i dlatego mi generują całe \(\displaystyle{ R^{2}}\)?

//edit

a jeszcze mam pewien inny przykład:

Podaj obraz przekształcenia liniowego:
\(\displaystyle{ L:R_{2}[x] \rightarrow R_{2}[x], (Lp)(x)=(x^{2}+x)p(2)+(3x^{2}-x)p(1);}\)

no i mi wychodzi:

niech \(\displaystyle{ p(x)=ax^{2}+bx+c}\),
wtedy,
\(\displaystyle{ (x^{2}+x)(4a+2b+c)+(3x^{2}-x)(a+b+c)=7ax^{2}+5bx^{2}+4cx^{2}+3ax+bx=a(7x^{2}+3x)+b(5x^{2}+x)+c(4x^{2})}\)

czyli \(\displaystyle{ ImL = span \{7x^{2}+3x,5x^{2}+x,4x^{2}\}}\)
a w odpowiedzi mam podane \(\displaystyle{ ImL= span \{x,x^{2}\}}\)

kto ma źle?

[BettyBoo]

W obu przykładach odpowiedź jest poprawnie - i Ty też masz dobrze, o ile nie trzeba było znaleźć bazy w obrazie (bo jeśli trzeba było, to powinieneś zrobić to, co piszę poniżej)

Nie do końca zrozumiałam Twoją argumentację w 1..generalnie chodzi o to, że te 3 wektory są liniowo zależne, ale da się z nich wybrać 2 liniowo niezależne. Jeśli wybierzesz np (1,0), (0,1) to te akurat wektory stanowią po prostu bazę kanoniczną w \(\displaystyle{ R^2}\). Zatem obrazem jest cała płaszczyzna.

W 2 uzyskane przez Ciebie wektory również są liniowo zależne. Można albo wybrać dwa liniowo niezależne z podanego zestawu, albo zauważyć, że \(\displaystyle{ x,x^2\in ImL}\), więc one również tworzą zbiór generatorów.

Pozdrawiam.