czy podzbiór spełnia definicję podprzestrzeni

[falko1]

Witam,
mam do sprawdzenia następujące podzbiory pod kątem spełniania definicji podprzestrzeni:
a) {\(\displaystyle{ {( x_{1}, x_{2}) \in R^{2}: x_{1}, x_{2}}\) są liczbami całowitymi}
b) {\(\displaystyle{ {( x_{1}, x_{2}) \in R^{2}: x_{1}=0}\) lub \(\displaystyle{ x_{2}=0}\)}
c) \(\displaystyle{ {( x_{1}, x_{2}) \in R^{2}: \left| x_{1}\right| - \left| x_{2}\right|=1}}\)
d) \(\displaystyle{ {( x_{1}, x_{2}) \in R^{2} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2}=2x_{1}x_{2}}}\)

Z tego co czytałem (niestety tylko teoretycznie, bo praktycznych zadań nie znalazłem wiele), to a) jest podprzestrzenią, b) nie (bo to jest wektor zerowy), d) może być, bo wychodzą liczby przeciwne ale nie jestem pewien co do c). Jak można zapisać sprawdzenie dwóch warunków podprzestrzeni dla tych podpunktów?

I jeszcze zadanie nr 2:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ s \in R}\) następujący podzbiór przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) jest podprzestrzenią liniową?
W={\(\displaystyle{ ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\in R^{4}: x_{1}-2x_{2}+x_{3}+x_{4}=s^{2}-1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+sx_{4}^{2}=x_{4}^{2}}\)}

Z góry dziękuję za pomoc!

[miodzio1988]

Skorzystaj z definicji podprzestrzeni i bedziesz mial dwa warunki do sprawdzenia. Trudne to nie jest a pozwoli Ci opanowac definicje. Podaj nam ją i powiedz z czym masz problem?

[falko1]

No właśnie nie do końca rozumiem, jak ją ugryźć w praktyce - pierwszy warunek polega na tym, że suma dwóch wektorów należących do danej podprzestrzeni powinna również do niej należeć, a drugi warunek, to że dla dowolnej liczby rzeczywistej, jej iloczyn przez wektor podprzestrzeni również musi należeć do tej podprzestrzeni. Ale jak wybrać te dwa wektory lub liczbę rzeczywistą? Podstawić dowolne liczby?

[miodzio1988]

Po prostu przyjąc, że ta liczba rzeczywista (skalar ) to np \(\displaystyle{ k}\) i liczyc. Wezmy zatem pierwszy przyklad.
niech \(\displaystyle{ V}\)-będzie tym naszym podzbiorem.
Zatem wezmy dowolne \(\displaystyle{ u,v \in V}\).
Pokaz, że \(\displaystyle{ u+v \in V}\). czyli co to znaczy, żę:
\(\displaystyle{ u+v}\)
Pamietaj, ze te wektory mają narzuconą postac

[falko1]

Jeśli chodzi o ppkt a) to jest jasne, że suma wektorów złożonych z dwóch liczb całkowitych i iloczyn takiego wektora przez skalar należy do podprzestrzeni zatem spełniona jest definicja. Nie do końca "czuję" jak podejść moduły z ppkt c) i zadanie 2

[miodzio1988]

Tak samo. Nad a) bym jeszcze pomyslał (mnozenie przez skalar.). Wystarczy, że rozpiszesz wszystko z definicji i wszystko samo się zrobi