Bazy i wymiary przestrzeni liniowych

[zbychu1314]

Znaleźć bazy i wymiary przestrzeni liniowych
a){(x,y,z,t)\(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ R^{4}}\) : \(\displaystyle{ x^{2}}\) + \(\displaystyle{ t^{2}}\) =0
b){w \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ R_{3}}\){x} : w(2)=0}
c){w \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ R_{3}}\){x} : w(1)=w(-1)}
d){w \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ R_{3}}\){x} : w(j)=0}

[BettyBoo]

W każdym przypadku znajdź postać elementów danego zbioru. Wymiarem jest ilość parametrów potrzebna do zapisu tej postaci, a bazą jest - w skrócie mówiąc - np to, co uzyskasz wstawiając za jeden z parametrów 1, a za pozostałe 0.

Np a) \(\displaystyle{ x^2+t^2=0\ \Leftrightarrow \ x=t=0\ \Rightarrow \ (0,y,z,0)}\) jest postacią dowolnego wektora z tego zbioru. Zatem wymiar jest 2, a bazą jest np \(\displaystyle{ ((0,1,0,0),(0,0,1,0))}\)

Pozdrawiam.

[zbychu1314]

Mógłby mi ktoś jeszcze wyjaśnić któryś z kolejnych przykładów bo nie bardzo wiem jak się za to zabrać. Z góry dzięki

[BettyBoo]

b)
\(\displaystyle{ w=ax^3+bx^2+cx+d,\ w(2)=0\ \Rightarrow \ 8a+4b+2c+d=0\ \Rightarrow \\ \\ w(x)=ax^3+bx^2+cx+(-8a-4b-2c)}\).

Zatem wymiar jest 3, bazą jest np \(\displaystyle{ (x^3-8,x^2-4,x-2)}\)

c) analogicznie

d) - o ile \(\displaystyle{ j}\) oznacza jednostkę urojoną - otrzymujesz, że drugim pierwiastkiem musi być \(\displaystyle{ -j}\), a więc \(\displaystyle{ w(x)=(x^2+1)(bx+c)}\).


Pozdrawiam.