postać Jordana / proste, płaszczyzny

[Przemas O'Black]

Bardzo proszę o wskazówki

1. W jaki sposób sprowadza się macierz do postaci Jordana?

2. Jakie warunki muszą być spełnione, żeby płaszczyzna była równoległa do zadanej płaszczyzny, zawierała zadaną prostą czy też była prostopadła do zadanej prostej / płaszczyzny?
Np. w zadaniu:
Niech \(\displaystyle{ P = (1,2,3) ^{T}}\), niech \(\displaystyle{ \prod_{}^{}}\) będzie płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ 4x + y - z = 2}\). Napisz nieparametryczne równanie
a) płaszczyzny przechodzącej przez P i równoległej do \(\displaystyle{ \prod_{}^{}}\)
b) prostej przechodzącej nad P i prostopadłej do \(\displaystyle{ \prod_{}^{}}\).

[Kamil_B]

1. Tzn, masz problem z jakimś konkretnym przykładem czy nie znasz w ogóle algorytmu?
2.
a) jesli szukana płaszczyzna ma byc równoległa do danej to jej wektor normalny jest taki sam, stąd mamy równanie ogólne postaci: \(\displaystyle{ 4x+y-z+D=0}\)gdzie \(\displaystyle{ D}\) wyznaczamy wstawiając współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) do równania.
b) jesli ta prosta jest prostopdała to jej wektor kierunkowy jest taki sam jak wektor normalny płaszczyzny. Napisz zatem równanie kierunkowe.

[BettyBoo]

Ad 1) Niech A ma wymiar nxn. Zakładam, że znasz wszystkie poniższe pojęcia (bo one akurat są oczywiste)

Krok 1 wyznacz wartości własne macierzy A i ich krotności. Niech to będą \(\displaystyle{ (a_1,k_1),(a_2,k_2),...,(a_n,k_n)}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \sum k_i=n}\)

Krok 2 Dla każdej wartości własnej z osobna obliczaj kolejno rzędy macierzy \(\displaystyle{ B_i^m:=(A-a_iI)^m,\ m=1,2,...}\) do momentu, w którym \(\displaystyle{ r(B_i^m)=n-k_i}\) (można wcześniej skończyć, ale ułatwienia zostawię na inny raz ). Kolejne różnice dają informacje o wymiarach klatek Jordana związanych z daną wartością własną:

\(\displaystyle{ n-r(B_i)}\) jest ilością klatek stopnia co najmniej 1
\(\displaystyle{ r(B_i)-r(B_i^2)}\) jest ilością klatek stopnia co najmniej 2
\(\displaystyle{ r(B_i^2)-r(B_i^3)}\) jest ilością klatek stopnia co najmniej 3

itd

Z tych obliczeń można odtworzyć postać Jordana macierzy A.

Np. jeśli wiesz, że dla danej wartości własnej są co najmniej 3 klatki stopnia 1, co najmniej 3 klatki stopnia 2, co najmniej 2 klatki stopnia 3 oraz żadnej klatki stopnia 4, to znaczy, że z tą wartością własną są związane 3 klatki - dwie są stopnia 3 oraz jedna stopnia 2.

Krok 3 tworzysz postać Jordana macierzy A -wzdłuż przekątnej umieszczasz kolejne klatki, kolejność dowolna.





Ad 2)

1 warunek równoległości płaszczyzn (prostych): wektory normalne (kierunkowe) muszą być równoległe
2 warunek prostopadłości płaszczyzn (prostych) wektory normalne (kierunkowe) muszą być prostopadłe

3 warunek prostopadłości (równoległości) prostej i płaszczyzny: wektor kierunkowy prostej i wektor normalny płaszczyzny muszą być równoległe (prostopadłe)

Prosta zawiera się w płaszczyźnie gdy jest do niej równoległa oraz dowolny punkt prostej (a w konsekwencji - wszystkie punkty) należy do płaszczyzny.

Pozdrawiam.

[Przemas O'Black]

Wielkie dzięki za wyczerpujące odpowiedzi.

W pierwszym mam np. macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1\\-1&5\end{array}\right]}\)
Wartości własne
wartość własna to 4. Co z tym zrobić?

[BettyBoo]

A przeczytałeś ze zrozumieniem co napisałam?

4 jest dwukrotną wartością własną. Wystąpi więc na przekątnej w postaci Jordana 2 razy. Wystarczy tutaj tylko sprawdzić, czy jest 1 klatka czy 2. Trzeba więc obliczyć rząd macierzy \(\displaystyle{ A-4I}\)

\(\displaystyle{ r\left[\begin{array}{ccc}3-4&1\\-1&5-4\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\-1&1\end{array}\right]=1}\)

zatem klatek jest \(\displaystyle{ 2-1=1}\), czyli postać Jordana

\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}4&1\\0&4\end{array}\right]}\)

Pozdrawiam.

[Przemas O'Black]

A przeczytałeś ze zrozumieniem co napisałam?
.

Ok, teraz już to rozumiem.