Równanie - liczby zespolone
Równanie - liczby zespolone
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z ^{2} + (-3 + i)z + 4 - 3i = 0}\), a następnie obliczyć cześć urojoną iloczynu \(\displaystyle{ \overline{z}_{1}\overline{z}_{2}}\).
Ostatnio zmieniony 19 gru 2009, o 15:09 przez maz, łącznie zmieniany 1 raz.
Równanie - liczby zespolone
\(\displaystyle{ a = 1 , b = -3 + i , c = 4 - 3i
delta = (-3 + i) ^{2} - 4 (4 - 3i) = 9 - 6i - 1 -16 + 12i = 6i - 8}\)
delta = (-3 + i) ^{2} - 4 (4 - 3i) = 9 - 6i - 1 -16 + 12i = 6i - 8}\)
-
miodzio1988
Równanie - liczby zespolone
Analogicznie:
\(\displaystyle{ delta = 6i - 8
\sqrt{6i - 8} = x + yi
6i - 8 = x ^{2} - y ^{2} + 2xyi}\)
Następnym krokiem jest układ równań przyrównujący Re do Re i Im do Im, więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = -8
\\
2xy = 6
\end{cases}}\)
Wiem jedynie dlaczego \(\displaystyle{ x = \frac{3}{y}}\). Co dalej?
\(\displaystyle{ delta = 6i - 8
\sqrt{6i - 8} = x + yi
6i - 8 = x ^{2} - y ^{2} + 2xyi}\)
Następnym krokiem jest układ równań przyrównujący Re do Re i Im do Im, więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = -8
\\
2xy = 6
\end{cases}}\)
Wiem jedynie dlaczego \(\displaystyle{ x = \frac{3}{y}}\). Co dalej?
Równanie - liczby zespolone
\(\displaystyle{ ( \frac{3}{y}) ^{2} - y ^{2} = -8
-y ^{2} + 8y ^{2} + 9 = 0
y ^{2} = t
-t ^{2} + 8t + 9 = 0
t _{1} = \frac{-8 - 10}{-2} = 9
t _{2} = \frac{-8 + 10}{-2} = -1 < 0 \neq y ^{2}
y = 3 \vee -3}\)
Co z tym zrobić?
-y ^{2} + 8y ^{2} + 9 = 0
y ^{2} = t
-t ^{2} + 8t + 9 = 0
t _{1} = \frac{-8 - 10}{-2} = 9
t _{2} = \frac{-8 + 10}{-2} = -1 < 0 \neq y ^{2}
y = 3 \vee -3}\)
Co z tym zrobić?
-
miodzio1988
Równanie - liczby zespolone
No wyznaczyłeś część urojoną, nie? Myslisz Ty tam trochę czy przepisujesz bezmyslenie to co Ci w linku podałem?
Równanie - liczby zespolone
Wybacz. Zielony w temacie jestem, mogłeś zdążyć zauważyć. Czyli: \(\displaystyle{ \\Z _{1} = (1 + 3i)\\Z _{2} = (-1 - 3i)}\)
Liczę część urojoną iloczynu \(\displaystyle{ \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2}}\):
\(\displaystyle{ \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2} = (1 - 3i)(-1 + 3i) = -1 + 3i + 3i + 9 = 8 + 6i}\)
Czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ Im \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2} = 6}\) ??
Liczę część urojoną iloczynu \(\displaystyle{ \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2}}\):
\(\displaystyle{ \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2} = (1 - 3i)(-1 + 3i) = -1 + 3i + 3i + 9 = 8 + 6i}\)
Czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ Im \overline{Z}_{1}\overline{Z}_{2} = 6}\) ??
-
miodzio1988
Równanie - liczby zespolone
Ale chwila. Przepisałeś bezmyślenie dlatego zle przepisales. Zauwaz, że te dwie liczby nie są rozwiązaniem Twojego rownania. A co jest? Masz to w linku
Równanie - liczby zespolone
Nie widzę błędu. Robiłem na kartce, nie przepisywałem bezmyślnie. Rozwiązaniem równania jest pierwiastek z delty, tak?
-
miodzio1988
Równanie - liczby zespolone
Nie. Pieriwastek z delty nie jest rozwiązaniem. Jak masz rownanie kwadratowe rzeczywiste to pierwiastek z delty jest tam rozwiązaniem??
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie - liczby zespolone
maz pisze:Mógłbym prosić o jakąś podpowiedź względem następnego kroku?
Ze wzorów Viete
\(\displaystyle{ z_{1}z_{2}=4-3i}\)
\(\displaystyle{ \overline{z_{1}z_{2}}=4+3i}\)
\(\displaystyle{ \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}=4+3i}\)
\(\displaystyle{ \Im{\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}}=3}\)
\(\displaystyle{ z^2+ \left(-3+i \right) z+ \left(4-3i \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= \left( -3+i\right)^2-4 \left(4-3i \right)=9-1-6i-16+12i=-8+6i}\)
\(\displaystyle{ \Delta= \left(1+3i \right)^2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{3-i+1+3i}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{3-i-1-3i}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= 2+i}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=1-2i}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2009, o 22:51 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.