Macierz przekształcenia liniowego

[Drazu]

Mam problem z tym zadankiem ponieważ nie było mnie raz na ćwiczeniach z algebry a jutro mam kolosa więc prosze o pomoc

Zad Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f: \(\displaystyle{ R^{2}}\) -> \(\displaystyle{ R^{3}}\))
f: (\(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\)) -> (\(\displaystyle{ x_{1}}\)+\(\displaystyle{ x_{2}}\),-\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\))

a) (\(\displaystyle{ e_{1}}\), \(\displaystyle{ e_{2}}\)) , (\(\displaystyle{ e_{1}'}\), \(\displaystyle{ e_{2}'}\), \(\displaystyle{ e_{3}'}\))
b) (\(\displaystyle{ e_{2}}\), \(\displaystyle{ e_{1}}\)) , (\(\displaystyle{ e_{3}'}\), \(\displaystyle{ e_{1}'}\),\(\displaystyle{ e_{2}'}\))
c) (\(\displaystyle{ e_{1}}\)+\(\displaystyle{ e_{2}}\), \(\displaystyle{ e_{1}}\)-\(\displaystyle{ e_{2}}\)) ,(\(\displaystyle{ e_{1}'}\), \(\displaystyle{ e_{1}'}\)+\(\displaystyle{ e_{2}'}\), \(\displaystyle{ e_{1}'}\)+\(\displaystyle{ e_{2}'}\)+\(\displaystyle{ e_{3}'}\))
gdzie:
\(\displaystyle{ e_{1}}\))=(1,0)
\(\displaystyle{ e_{2}}\))=(0,1)
\(\displaystyle{ e_{1}'}\))=(1,0,0)
\(\displaystyle{ e_{2}'}\))=(0,1,0)
\(\displaystyle{ e_{3}'}\))=(0,0,1)

[BettyBoo]

A wzór przekształcenia mam sobie zgadnąć czy jak?

Pozdrawiam.

[Drazu]

A wzór przekształcenia mam sobie zgadnąć czy jak?

Pozdrawiam.

Fakt sory zapomniałem ale już poprawione

[BettyBoo]

a),b) to najlepiej z definicji. c) można zrobić na dwa sposoby - albo z definicji albo korzystając z macierzy przejścia między bazami.

Konstrukcja macierzy przekształcenia f w bazie \(\displaystyle{ B=(b_1,b_2,..,b_n)}\) (dziedziny) i \(\displaystyle{ C=(c_1,c_2,...,c_s)}\) (przeciwdziedziny) wygląda tak:

Krok 1 Obliczamy \(\displaystyle{ f(b_i)}\)
Krok 2 Obliczamy współrzędne każdego wektora \(\displaystyle{ f(b_i)}\) w bazie C otrzymując wektory \(\displaystyle{ f(b_i)_C}\)
Krok 3 Wpisujemy wektory \(\displaystyle{ f(b_i)_C}\) po kolei jako kolumny do macierzy

Otrzymana w ten sposób macierz jest tą, której szukamy.

Tyle definicji. Kroki 2 i 3 można połączyć, mianowicie: tworzymy macierz, w której najpierw wpisujemy po kolei kolumnami wektory bazy C (to jest "lewa strona" tej macierzy), a potem dopisujemy po kolei kolumnami obrazy wektorów bazy B (to co znaleźliśmy w kroku 1 - i to jest "prawa strona" tej macierzy). Na tak utworzonej macierzy przeprowadzamy proces Gaussa-Jordana (czyli doprowadzamy ją do takiej postaci, żeby po lewej stała macierz jednostkowa). Wtedy to, co stoi po prawej stronie jest szukaną macierzą przekształcenia.

Właściwie to możesz spróbować sam na razie (wzór przekształcenia jest mi wobec tego niepotrzebny ). Jeśli coś nie wyjdzie - pisz.

Pozdrawiam.

[Drazu]

Dziękuję Ci bardzo już powinienem dać radę.
Pozdrawiam