Witam, rozwiązując następującą macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&4&2&1&3&5\\1&3&1&1&3&5\\1&7&5&-2&-3&14\end{array}\right]}\)
Sprowadziliśmy go do takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&4&2&1&3&5\\0&1&1&-1&-2&3\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
A następnie, na podstawie tw. Kroneckera-Capellego, stwierdziliśmy, że istnieje rozwiązanie.
I w związku z tym mam pytanie: Jak to sprawdzić? Definicję twierdzenia czytałem, lecz nie potrafię jej zastosować.
Pozdrawiam
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Macierzy się nie rozwiązuje.rozwiązując następującą macierz
Ale chyba musieliście mieć jakąś macierz uzupełnioną (chyba, że ostatni wiersz ma symbolizować, prawą stronę układu równań, ale tego nie zaznaczyłeś).A następnie, na podstawie tw. Kroneckera-Capellego, stwierdziliśmy, że istnieje rozwiązanie.
Może się wytłumaczysz?
Tu masz napisane o jakiej macierzy mówię, gdybyś miał wątpliwości:
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 2 razy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Tak, to jest właśnie macierz rozszerzona, ostatnia kolumna zawiera wyrazy wolne (prawą stronę układu równań). Jest dokładnie jak napisałem powyżej; zrobione były cztery przykłady, w każdym, kolejno:miki999 pisze: Ale chyba musieliście mieć jakąś macierz uzupełnioną (chyba, że ostatni wiersz ma symbolizować, prawą stronę układu równań, ale tego nie zaznaczyłeś).
- zapisanie układu równań w postaci macierzy
- sprowadzenie macierzy do macierzy schodkowej (z wiodącymi jedynkami)
- stwierdzenie, czy istnieje rozwiązanie, czy nie
Jednak jak wykonać ostatni etap - nie mam pojęcia.
Pozdrawiam.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Ostatni wiersz się wyzerował więc możesz go skreślić
Pozostaje Tobie macierz trójkątna rzędu 2
Niewiadome \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)
zostawiasz a resztę traktujesz jako parametry i przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
a następnie wykonujesz podstawianie
Pokazując te rozwiązanie też od biedy można sprawdzić
(albo pokazując sprzeczność)
Ale może lepiej zacząć od treści twierdzenia i
zastosować je
Pozostaje Tobie macierz trójkątna rzędu 2
Niewiadome \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)
zostawiasz a resztę traktujesz jako parametry i przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
a następnie wykonujesz podstawianie
Pokazując te rozwiązanie też od biedy można sprawdzić
(albo pokazując sprzeczność)
Ale może lepiej zacząć od treści twierdzenia i
zastosować je
Ostatnio zmieniony 14 gru 2009, o 22:34 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
mariuszm, on nie ma rozwiązywać, tylko określić czy układ równań jest rozwiązywalny.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Dla uproszczenia można pominąć ostatni wiersz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\end{array}\right]}\)
Widzimy, że rząd tej macierzy jest \(\displaystyle{ \le 2}\). Bierzemy 1. z brzegu minor i sprawdzamy, że rzeczywiście ma on wyznacznik różny od \(\displaystyle{ 0}\), zatem \(\displaystyle{ r(A)=2}\)
Macierz uzupełniona:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccccc}1&4&2&1&3&|&5\\0&1&1&-1&-2&|&3\end{array}\right]}\)
Zawiera ona ten sam minor, co macierz główna zatem: \(\displaystyle{ r(U)=2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ r(A)=r(U)}\) i tu pojawia się tw. Kroneckera-Capellego.
Macierz główna:- stwierdzenie, czy istnieje rozwiązanie, czy nie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Dla uproszczenia można pominąć ostatni wiersz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\end{array}\right]}\)
Widzimy, że rząd tej macierzy jest \(\displaystyle{ \le 2}\). Bierzemy 1. z brzegu minor i sprawdzamy, że rzeczywiście ma on wyznacznik różny od \(\displaystyle{ 0}\), zatem \(\displaystyle{ r(A)=2}\)
Macierz uzupełniona:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccccc}1&4&2&1&3&|&5\\0&1&1&-1&-2&|&3\end{array}\right]}\)
Zawiera ona ten sam minor, co macierz główna zatem: \(\displaystyle{ r(U)=2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ r(A)=r(U)}\) i tu pojawia się tw. Kroneckera-Capellego.