Twierdzenie Kroneckera-Capellego

[movax1]

Witam, rozwiązując następującą macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&4&2&1&3&5\\1&3&1&1&3&5\\1&7&5&-2&-3&14\end{array}\right]}\)
Sprowadziliśmy go do takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&4&2&1&3&5\\0&1&1&-1&-2&3\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
A następnie, na podstawie tw. Kroneckera-Capellego, stwierdziliśmy, że istnieje rozwiązanie.

I w związku z tym mam pytanie: Jak to sprawdzić? Definicję twierdzenia czytałem, lecz nie potrafię jej zastosować.

Pozdrawiam

[miki999]

rozwiązując następującą macierz

Macierzy się nie rozwiązuje.

A następnie, na podstawie tw. Kroneckera-Capellego, stwierdziliśmy, że istnieje rozwiązanie.

Ale chyba musieliście mieć jakąś macierz uzupełnioną (chyba, że ostatni wiersz ma symbolizować, prawą stronę układu równań, ale tego nie zaznaczyłeś).
Może się wytłumaczysz?
Tu masz napisane o jakiej macierzy mówię, gdybyś miał wątpliwości:

[movax1]

Ale chyba musieliście mieć jakąś macierz uzupełnioną (chyba, że ostatni wiersz ma symbolizować, prawą stronę układu równań, ale tego nie zaznaczyłeś).

Tak, to jest właśnie macierz rozszerzona, ostatnia kolumna zawiera wyrazy wolne (prawą stronę układu równań). Jest dokładnie jak napisałem powyżej; zrobione były cztery przykłady, w każdym, kolejno:
- zapisanie układu równań w postaci macierzy
- sprowadzenie macierzy do macierzy schodkowej (z wiodącymi jedynkami)
- stwierdzenie, czy istnieje rozwiązanie, czy nie

Jednak jak wykonać ostatni etap - nie mam pojęcia.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Ostatni wiersz się wyzerował więc możesz go skreślić
Pozostaje Tobie macierz trójkątna rzędu 2
Niewiadome \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)
zostawiasz a resztę traktujesz jako parametry i przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
a następnie wykonujesz podstawianie

Pokazując te rozwiązanie też od biedy można sprawdzić
(albo pokazując sprzeczność)

Ale może lepiej zacząć od treści twierdzenia i
zastosować je

[miki999]

mariuszm, on nie ma rozwiązywać, tylko określić czy układ równań jest rozwiązywalny.

- stwierdzenie, czy istnieje rozwiązanie, czy nie

Macierz główna:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Dla uproszczenia można pominąć ostatni wiersz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&4&2&1&3\\0&1&1&-1&-2\end{array}\right]}\)
Widzimy, że rząd tej macierzy jest \(\displaystyle{ \le 2}\). Bierzemy 1. z brzegu minor i sprawdzamy, że rzeczywiście ma on wyznacznik różny od \(\displaystyle{ 0}\), zatem \(\displaystyle{ r(A)=2}\)
Macierz uzupełniona:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccccc}1&4&2&1&3&|&5\\0&1&1&-1&-2&|&3\end{array}\right]}\)
Zawiera ona ten sam minor, co macierz główna zatem: \(\displaystyle{ r(U)=2}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ r(A)=r(U)}\) i tu pojawia się tw. Kroneckera-Capellego.