Wyznaczyć X i wyliczyć dla danych macierzy

[funked]

Witam mam problem z nastepujacym zadaniem :
Wyznaczyć X i wyliczyć dla danych macierzy
\(\displaystyle{ (BA^{-1}X)^{-1}=\frac{1}{3}(AB)^{-1}}\)


Macierz A \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&2\end{array}\right]}\)
Macierz B \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&0\end{array}\right]}\)


z gory dziekuje za pomoc

[nuclear]

przepiszmy trochę nasze równanie

\(\displaystyle{ (BA^{-1}X)^{-1}=\frac{1}{3}(AB)^{-1}\\X^{-1}AB^{-1}=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}\\X^{-1}AB^{-1}B=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}B\\ X^{-1}A=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}B\\ \ X^{-1}AB^{-1}B=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}B\\ X^{-1}AA^{-1}=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1}\\ X^{-1}=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1}}\)

sprawdź krytycznie moje rozwiązanie, dalej to już sobie poradzisz.

[funked]

hmm mam 2 pytania do tego rozwiazania

1. dlaczego \(\displaystyle{ (BA^{-1}X)^{-1} = X^{-1}AB^{-1}}\)
w szegolnosci dlaczego \(\displaystyle{ (BA^{-1})^{-1}=AB^{-1}}\)
sama wlasnosc \(\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}\)
kojaze jednak tego przeksztalcenia nie rozumiem


i 2 czy na koniec dozwolone jest
\(\displaystyle{ X^{-1}=\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1}\\ X=(\frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1})^{-1}}\)

z gory dziekuje

[nuclear]

w szegolnosci dlaczego \(\displaystyle{ (BA^{-1})^{-1}=AB^{-1}}\)

z własności macierzy mamy

\(\displaystyle{ (ABC\cdot ... \cdot Z)^{-1}=Z^{-1}\cdot ... \cdotC^{-1}B^{-1}A^{-1}}\)
oraz macierz odwrotna do macierzy odwrotnej to ta sama macierz czyli

\(\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A}\)

X^{-1}=frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1}\ X=(frac{1}{3}B^{-1}A^{-1}BA^{-1})^{-1}

zdaje się że tak