mam dosyc banalne pytanie, mianowicie: jak sprawdzic czy przeksztalcenie jest liniowe? tzn. znam 2 warunki, ktore musza byc spelnione (\(\displaystyle{ A(x+y)=A(x)+A(y)}\) i \(\displaystyle{ A(cx)=cA(x)}\)), ale nie wiem jak to zrobic w praktyce. moglby ktos dokladnie mi to pokazac np na przykladzie:
sprawdz czy przeksztalcenie jest liniowe \(\displaystyle{ R^{3} \rightarrow R^{2}}\): \(\displaystyle{ A((x_{1}, x_{2},x_{3}))=(x_{1}+3x_{2}-1, 4x_{1}+2x_{2}+6)}\)?
przeksztalcenie liniowe
-
emjakmaciej
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 gru 2007, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 4 razy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
przeksztalcenie liniowe
Podstawić i sprawdzić, czy zachodzi równość.
Np warunek 2:
\(\displaystyle{ x=(x_1,x_2,x_3)\ \Rightarrow \\ \\ A(cx)=A(cx_1,cx_2,cx_3)=(cx_1+3cx_2-1, 4cx_1+2cx_2+6),\\ \\ cA(x)=c(x_{1}+3x_{2}-1, 4x_{1}+2x_{2}+6)=(cx_{1}+3cx_{2}-c, 4cx_{1}+2cx_{2}+6c)}\).
Widać, że w ogólnym przypadku \(\displaystyle{ A(cx)\neq cA(x)}\), a więc przekształcenie nie jest liniowe.
Analogicznie sprawdza się warunek na sumę (oczywiście nie trzeba tego tutaj robić).
Pozdrawiam.
Np warunek 2:
\(\displaystyle{ x=(x_1,x_2,x_3)\ \Rightarrow \\ \\ A(cx)=A(cx_1,cx_2,cx_3)=(cx_1+3cx_2-1, 4cx_1+2cx_2+6),\\ \\ cA(x)=c(x_{1}+3x_{2}-1, 4x_{1}+2x_{2}+6)=(cx_{1}+3cx_{2}-c, 4cx_{1}+2cx_{2}+6c)}\).
Widać, że w ogólnym przypadku \(\displaystyle{ A(cx)\neq cA(x)}\), a więc przekształcenie nie jest liniowe.
Analogicznie sprawdza się warunek na sumę (oczywiście nie trzeba tego tutaj robić).
Pozdrawiam.