Określ liczbę parametrów układu niejednorodnego

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 12 gru 2009, o 22:20

Cześć,

mógłby mi ktoś pomóc z takim zadaniem?

Nie rozwiązując poniższego układu równań liniowych niejednorodnych określ liczbę parametrów, od których zależy rozwiązanie ogólne i podaj fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego (czyli bazę podprzestrzeni rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}-x_{3}=-2 \\ 3x_{1} - 4x_{2}-9x_{3}=4 \\ 5x_{1}-9x_{2}-8x_{3}=-5 \end{cases}}\)

Pozdrawiam i dziękuję z góry za pomoc.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 gru 2009, o 22:29

Pierwsza część z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Będzie 1 parametr.

Druga część: ilość parametrów określa wymiar podprzestrzeni rozwiązań. Jest ona ortogonalna do przestrzeni rozpartej na kolumnach tej macierzy (która jest de facto płaszczyzną w \(\displaystyle{ R^3}\)), a więc bazę stanowi np iloczyn wektorowy dowolnych dwóch kolumn macierzy współczynników.

Pozdrawiam.

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 20 sty 2010, o 23:17

a czy tą drugą część mogę zrobić w jakiś inny łatwiejszy sposób?

bo mam takie zadanie (+rozwiązanie):

Znajdź wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+2z-t=0 \\ 2x-y+z+3t=0 \end{cases}}\)

no i wymiar jest równy \(\displaystyle{ 2}\) i po rozwiązaniu układu mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=z-4t \\ y=3z-5t \end{cases}}\) i wtedy:
\(\displaystyle{ W=\{(z-4t,3z-5t,z,t):z,t \in \mathbb{R}\}=lin \{ (1,3,1,0),(-4,-5,0,1) \}}\) no i to moja baza.

problem tylko taki, że w tamtym zadaniu w pierwszym poście mam 3 niewiadome i 3 układy, więc nie bardzo mogę rozpisać to zależnie od innych (btw. więc jakim cudem jest ten 1 parametr)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 sty 2010, o 23:22

No oczywiście, że tak możesz zrobić, ale wydawało mi się, że masz tego układu nie rozwiązywać, dlatego tak kombinowałam z tym warunkiem jak koń pod górkę

Rozwiązanie odpowiadającego układu jednorodnego to najprostszy sposób znalezienia bazy. Nic się nie przejmuj ilością równań i niewiadomych, rozwiąż układ jednorodny o takiej macierzy współczynników jak wyjściowy układ, a reszta sama Ci wyjdzie.

Pozdrawiam.

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 20 sty 2010, o 23:33

aha, czyli tutaj moją bazą będzie \(\displaystyle{ [7,1,1]}\)?

a jeśli na kolokwium napiszę rozwiązanie układu w jakimś brudnopisie i wpiszę na kartce sam wynik? będzie wynik bez rozwiązywania układu

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 sty 2010, o 23:37

Zanim coś napiszesz na kolokwium to się dowiedz co znaczy, żeby nie rozwiązywać układu (może jednak chodziło o nierozwiązywanie układu niejednorodnego, a jednorodny można...? nie wiem, co poeta miał na myśli, zapytaj poetę ).

Pomyliłeś się (podany wektor nie spełnia 1 równania w układzie jednorodnym na przykład). Oblicz jeszcze raz

Pozdrawiam.

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 20 sty 2010, o 23:45

aj, dobrze obliczyłem, ale źle wpisałem tu wynik, będzie tak? \(\displaystyle{ [7,3,1]}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 20 sty 2010, o 23:52

Taki wynik będzie, ale bazą jest układ wektorów (złożony z jednego wektora w tym przypadku), czyli \(\displaystyle{ ([7,3,1])}\).

Pozdrawiam.