Wyznaczyć wszystkie kombinacje liniowe

[wbb]

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{2} ^{3}}\) wyznaczyć wszystkie kombinacje liniowe wektorów

\(\displaystyle{ \alpha _{1}=[1,0,1], \ \alpha _{2}=[1,1,1], \ \alpha _{3}=[0,1,0]}\).

Powiedzcie tylko czy dobrze myślę, że tych kombinacji będzie \(\displaystyle{ 27}\) (trzeba wybrać 3 współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\), a że jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{2}}\) to można je wybrać na \(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 3}\) sposobów).

[BettyBoo]

Nie będzie ich 27, bo te wektory nie są liniowo niezależne (ale dowolne dwa już są).

Pozdrawiam.

[wbb]

No to jak to rozwiązać?

[BettyBoo]

Ponieważ te wektory nie są liniowo niezależne (bo np \(\displaystyle{ [1,0,1]+[0,1,0]=[1,1,1]}\)), to dowolną kombinację liniową tych 3 wektorów można zrobić za pomocą kombinacji dowolnych dwóch, np. \(\displaystyle{ a[1,0,1]+b[0,1,0]}\).

Te dwa wektory stanowią bazę, a więc...

Odpowiedź:    

Ponieważ \(\displaystyle{ a,b,\in\mathbb{Z}_2}\), to możliwości uzyskania różnych wektorów jest \(\displaystyle{ 2\cdot 2=4}\). Można je nawet wypisać

Pozdrawiam.