rownanie rzutu

[tomcza]

Dana jest plaszczyzna: \(\displaystyle{ /pi: x+2y-z-2=0}\) i prosta \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{2}= \frac{y-2}{1}=z}\). znalezc rownanie rzutu prostopadlego prostej l na plaszczyznie pi.

no to rownanie parametryczne: x=2t+1, y=2+t, z=t. wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}=[1,2,-1]}\), wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{l}=[2,1,1]}\).
ale jak dalej?:)

[BettyBoo]

Można to zrobić na dwa sposoby.

I sposób: z definicji rzutu.
Sprawdzasz najpierw, czy prosta jest prostopadła do płaszczyzny. Jeśli tak, to rzutem jest punkt wspólny. Jeśli nie, to by go znaleźć potrzebne Ci są dwa punkty na rzucie. Jednym jest punkt wspólny, a drugi znajdujesz z definicji: bierzesz dowolny punkt z prostej, piszesz równanie prostej k prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez ten punkt, a potem szukasz punktu wspólnego prostej k i płaszczyzny.
Mając dwa punkty, które należą do rzutu łatwo go skonstruować.

II sposób:
Sprawdzasz najpierw, czy prosta jest prostopadła do płaszczyzny. Jeśli tak, to rzutem jest punkt wspólny. Jeśli nie, to piszesz równanie płaszczyzny zawierającej podaną prostą i prostopadłej do podanej płaszczyzny. Wówczas szukany rzutem jest część wspólna obu płaszczyzn.

Pozdrawiam.

[tomcza]

wg 2. rownanie plaszczyzny zawierajaca podana prosta bedzie: x-y+2z+2=0 ? i przyrownac plaszczyzny?

[BettyBoo]

Nie wiem skąd wziąłeś takie równanie.

Ponieważ szukana płaszczyzna zawiera prostą oraz jest prostopadła do podanej płaszczyzny, to wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły zarówno do wektora kierunkowego prostej jak i do wektora normalnego podanej płaszczyzny - zatem jest równoległy (można przyjąć, że równy) do ich iloczynu wektorowego. Dla napisania równania bierzesz dowolny punkt prostej.

Pozdrawiam.

[tomcza]

nie wiem zbytnio jak to zapisac.. algebra z geometria analityczna to masakra dla mnie

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \vec{n}\times \vec{l}=\begin{vmatrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 1&2&-1\\ 2&1&1\end{vmatrix}=[3,-3,-3]}\)

więc jako wektor normalny płaszczyzny wystarczy wziąć [1,-1,-1]. Punkt np (1,2,0).

Zatem szukanym rzutem jest

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z-2=0\\ x-y-z+1=0\end{cases}}\)

Pozdrawiam.

[tomcza]

a do czego potrzebny jest ten punkt (1,2,0)? i dlaczego przy 2 rownaniu jest D=1?

[BettyBoo]

Punkt (1,2,0) jest potrzebny do napisania równania płaszczyzny. Jej wektor normalny się oblicza j.w., a punkt bierze się dowolny z prostej, np (1,2,0). Wtedy równanie szukanej płaszczyzny ma postać

\(\displaystyle{ 1(x-1)-1(y-2)-1(z-0)=0}\)

co po przekształceniu daje \(\displaystyle{ x-y-z+1=0}\).

Pozdrawiam.

[tomcza]

ok, a przy dobraniu innego punktu niz (1,2,0) tez by bylo dobrze?

[BettyBoo]

Też. Ten punkt wzięłam tylko dlatego, że go widać wprost z równania prostej.

Pozdrawiam.

[tomcza]

dzięki wielkie Pani. zrozumialem