Witam, proszę o pomoc w zadaniu:
W zbiorze wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych rozpatrujemy podzbiory:
\(\displaystyle{ A_{1} ={f:f(0)=1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}={f:f(0)=0}}\)
\(\displaystyle{ A_{3} = {2f(0)-3f(1)=0}}\)
Zbadać, czy \(\displaystyle{ (A_{i},R,+, \cdot )}\) dla \(\displaystyle{ i =1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ + oraz \cdot}\) oznaczają dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianów przez liczbę rzeczywistą, jest przestrzenią wektorową.
Z góry dz. za odpowiedzi. Wiem tyle, że pierwsze nie będzie przestrzenią, zaś dwa następne będą. Nie wiem jednak jak to sprawdzić.
Przestrzeń wektorowa/liniowa
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Przestrzeń wektorowa/liniowa
\(\displaystyle{ A_{1} =\{f:f(0)=1\}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x+1, g=-x+1 \in A_{1}, f+g=2 \notin A_{1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}=\{f:f(0)=0\}}\)
\(\displaystyle{ 0=0+0x+0x^2+... \in A_{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ f=xf_1, \ g=xg_1 \in A_{2}, \ \alpha, \beta \in R}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha f+ \beta g=\alpha (xf_1)+ \beta (x g_1)=x \left(\alpha f_1)+ \beta g_1) \right) \in A_{2}.}\)
\(\displaystyle{ A_{3} = \{f:2f(0)-3f(1)=0\}}\)
\(\displaystyle{ 2f(0)-3f(1) \Rightarrow - \left(2f(0)-3f(1)) \right)=\left(2(-f(0))-3(-f(1) \right) \in A_{3}.}\)
\(\displaystyle{ \left(2f(0)-3f(1), 2g(0)-3g(1) \in A_{3}, \ \alpha, \beta \in R \right) \Rightarrow \alpha(2f(0)-3f(1))+ \beta (2g(0)-3g(1))=2(\alpha f(0)+\beta g(0))-3(\alpha f(1)+\beta g(1) \in A_3.}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x+1, g=-x+1 \in A_{1}, f+g=2 \notin A_{1}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}=\{f:f(0)=0\}}\)
\(\displaystyle{ 0=0+0x+0x^2+... \in A_{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ f=xf_1, \ g=xg_1 \in A_{2}, \ \alpha, \beta \in R}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha f+ \beta g=\alpha (xf_1)+ \beta (x g_1)=x \left(\alpha f_1)+ \beta g_1) \right) \in A_{2}.}\)
\(\displaystyle{ A_{3} = \{f:2f(0)-3f(1)=0\}}\)
\(\displaystyle{ 2f(0)-3f(1) \Rightarrow - \left(2f(0)-3f(1)) \right)=\left(2(-f(0))-3(-f(1) \right) \in A_{3}.}\)
\(\displaystyle{ \left(2f(0)-3f(1), 2g(0)-3g(1) \in A_{3}, \ \alpha, \beta \in R \right) \Rightarrow \alpha(2f(0)-3f(1))+ \beta (2g(0)-3g(1))=2(\alpha f(0)+\beta g(0))-3(\alpha f(1)+\beta g(1) \in A_3.}\)
Ostatnio zmieniony 8 gru 2009, o 15:27 przez JankoS, łącznie zmieniany 1 raz.
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Przestrzeń wektorowa/liniowa
Zbor \(\displaystyle{ A_3}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ W}\), wtedy gdy:
\(\displaystyle{ (*) \ A_3 \subset W \ i \ (**) \ 0 \in A_3 \ i \ (***) \ \forall f,g \in A_3 f+g \in A_3 \ i \ (****) \ \forall f \in A_3, \beta \in R \ \beta f \in A_3}\)
(*) Jeżeli f jest wielomianem z A3, to f jest wielomianem z W. Ten warunek zachodzi.
(**) Jeżeli f jest wielomianem zerowym, to \(\displaystyle{ 0=2 \cdot 0-3 \cdot 0 \in A_3}\).
Z tym coś było nie tak, a dokładnie co innego chciałem pokazać - że wielomian przeciwny należy do zbioru, a co innego się "pokazało". Warunki wektor przeciwny należy do zbioru i wektor zerowy należy do tegoż w przypadku przestrzeni są równoważne.
(***) Jeżeli \(\displaystyle{ f,g \in A_3 \Rightarrow \left(f=2f(0)-3f(1) \ i \ g=2g(0)-3g(1) \right) \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \left(f+g=2f(0)-3f(1)+2g(0)-3g(1)=2 f(0)+g(0) \right) -3 \left(f(1)+g(1) \right)}\)
(****) \(\displaystyle{ (f \in A_3 \ i \ \beta \in R) \Rightarrow \beta f=\beta \left(2f(0)-3f(1) \right)=2 \left(\beta f(0)\right) -3\left (\beta f(1) \right) \in A_3.}\)
\(\displaystyle{ (*) \ A_3 \subset W \ i \ (**) \ 0 \in A_3 \ i \ (***) \ \forall f,g \in A_3 f+g \in A_3 \ i \ (****) \ \forall f \in A_3, \beta \in R \ \beta f \in A_3}\)
(*) Jeżeli f jest wielomianem z A3, to f jest wielomianem z W. Ten warunek zachodzi.
(**) Jeżeli f jest wielomianem zerowym, to \(\displaystyle{ 0=2 \cdot 0-3 \cdot 0 \in A_3}\).
Z tym coś było nie tak, a dokładnie co innego chciałem pokazać - że wielomian przeciwny należy do zbioru, a co innego się "pokazało". Warunki wektor przeciwny należy do zbioru i wektor zerowy należy do tegoż w przypadku przestrzeni są równoważne.
(***) Jeżeli \(\displaystyle{ f,g \in A_3 \Rightarrow \left(f=2f(0)-3f(1) \ i \ g=2g(0)-3g(1) \right) \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \left(f+g=2f(0)-3f(1)+2g(0)-3g(1)=2 f(0)+g(0) \right) -3 \left(f(1)+g(1) \right)}\)
(****) \(\displaystyle{ (f \in A_3 \ i \ \beta \in R) \Rightarrow \beta f=\beta \left(2f(0)-3f(1) \right)=2 \left(\beta f(0)\right) -3\left (\beta f(1) \right) \in A_3.}\)
Ostatnio zmieniony 8 gru 2009, o 19:09 przez JankoS, łącznie zmieniany 1 raz.