Znajdź wartość własną i wektor własny macierzy

[kriss024]

Znajdź wartość własną i wektor własny macierzy
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}}\)

Z tego co czytałem to się chyba tak rozwiązuje:
\(\displaystyle{ det(A- \lambda )= \begin{bmatrix} 1-\lambda &0&-1\\0&2- \lambda &0\\1&0&1- \lambda\end{bmatrix}=(1- \lambda ) (2- \lambda )(1- \lambda )}\)
\(\displaystyle{ \lambda =2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&-1\\0&0&0\\1&0&-1\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} x _{1} \\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 0 \\0\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ -x _{1}-x _{3}=0}\)

\(\displaystyle{ x _{1}-x _{3}=0}\)


\(\displaystyle{ x _{1}=x _{3}}\)

\(\displaystyle{ \lambda =1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}, x _{3}=0}\)

Tylko co dalej???

[BettyBoo]

Tak się to rozwiązuje, ale wyznacznik źle obliczyłeś

\(\displaystyle{ det(A- \lambda I)= \begin{bmatrix} 1-\lambda &0&-1\\0&2- \lambda &0\\1&0&1- \lambda\end{bmatrix}=(1- \lambda ) (2- \lambda )(1- \lambda )+(2-\lambda)=(2-\lambda)((1-\lambda)^2)-i^2)=(2-\lambda)(1-i-\lambda)(1+i-\lambda)}\)

W pierwszym przypadku już masz rozwiązanie: \(\displaystyle{ x_1=x_3, x_2}\) dowolne. Zatem ogólna postać wektorów własnych związanych z wartością własną 2 to \(\displaystyle{ [t,m,t]^T,\ t,m\in\mathbb{C}}\)

Jeśli masz znaleźć tylko przykład to weź jakieś konkretne wartości parametrów t i m (np t=m=1 itd)

Dla pozostałych dwóch wartości własnych podstawiasz i liczysz.

Pozdrawiam.

[kriss024]

nie rozumiem skąd jest to \(\displaystyle{ -i ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_1=x_3, x_2}\)

jak pierwszy raz liczyłem to zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ (1- \lambda ) (2- \lambda )(1- \lambda )+0+0-(-1)(2-\lambda)*1*1-0-0=}\)

\(\displaystyle{ (1- \lambda ) (2- \lambda )(1- \lambda )+(2-\lambda)=}\)

czyli do tego miejsca jest ok.
ale potem zrobiłem tak (ze wzoru skróconego mnożenia)
\(\displaystyle{ =(1-2 \lambda + \lambda ^{2} )(2- \lambda )+(2- \lambda )}\)

\(\displaystyle{ =2 -4 \lambda + 2 \lambda ^{2} - \lambda + 2 \lambda ^{2} - \lambda ^{3} +2 -\lambda}\)

\(\displaystyle{ =-\lambda ^{3} + 4 \lambda ^{2} -6 \lambda + 4 =0}\)

\(\displaystyle{ \lambda ^{3} ( \lambda ^{2} - 4 \lambda +6) -4 =0}\)
i tu mi delta zaczęła wychodzić urojona, więc napisałem tak jak poprzednio

[BettyBoo]

Po pierwsze, nie wolno sobie opuszczać składników tylko dlatego,że są dla Ciebie niewygodne
Po drugie, co ma z tym delta wspólnego? Przecież to wielomian 3-go stopnia.
Po trzecie, skąd Ci się wziął iloczyn w ostatnim przekształceniu?

nie rozumiem skąd jest to \(\displaystyle{ -i ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_1=x_3, x_2}\)

Skorzystałam z tego, że \(\displaystyle{ 1=-i^2}\), żeby łatwiej było mi znaleźć pierwiastki wielomianu (mogłam wtedy wykorzystać wzór na różnicę kwadratów).

Poza tym, 2 jest naprawdę wartością własną, a dla 2 sam już rozwiązałeś układ równań i Ci tak wyszło, ja to tylko powtórzyłam.

Pozdrawiam.