Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu ponizszych zadań. Może nie są one zbyt ambitne ale nie zbyt rozumiem podprzesztrzeni liniowych i nie moge sobie z nimi poradzić.
Jeźeli jest to mozliwe to proszę o "łopatologiczne" wytłumaczenie
Zad. 1
Sprawdz, czy:
a) \(\displaystyle{ V= \{-a+2ai : a \in R\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ C}\) nad \(\displaystyle{ R}\).
b) \(\displaystyle{ V= \{-a+2ai : a \in R\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ C}\) nad \(\displaystyle{ C}\).
Zad. 2
Sprawdź, czy:
a) \(\displaystyle{ V= \{(x, -x, x) : x \in R \}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\)
b) \(\displaystyle{ V= \{(x, y) : y=x^2, x,y \in R\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\)
c) \(\displaystyle{ V= \{(x,y,z,t) : -2x+y=0, y+t=0, x, y, z, t \in R \}}\) jest podprzestrzenia przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\)
d) \(\displaystyle{ V= \{(x, y, z) : x=0 lub z=2x, x,y,z \in R\}}\) jest podrzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\).
Podprzestrzenie liniowe.
Podprzestrzenie liniowe.
Ostatnio zmieniony 6 gru 2009, o 12:23 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami[latex] i [/latex]
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Podprzestrzenie liniowe.
1.
Weźmy dowolne elementy \(\displaystyle{ x,y\in V}\). Mamy \(\displaystyle{ x=-a+2ai, y=-b+2bi}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in R}\). Wówczas \(\displaystyle{ a+b\in R}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=-(a+b)+2(a+b)i}\), więc \(\displaystyle{ x+y\in V}\).
a) Niech ponadto \(\displaystyle{ \alpha\in R}\) będzie dowolną liczbą. Mamy wtedy \(\displaystyle{ a\alpha\in R}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha x=-(a\alpha)+2(a\alpha)i}\), więc \(\displaystyle{ \alpha x\in V}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ R}\).
b) Wykażemy, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest podprzestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ C}\). Połóżmy \(\displaystyle{ \alpha=i\in C}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha x=i(-a+2ai)=-2a-ai\notin V}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in R\setminus\{0\}}\), czyli nie jest spełniony jeden z warunków definicji podprzestrzeni liniowej: \(\displaystyle{ \alpha x\in V}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x\in V, \alpha\in C}\).
Weźmy dowolne elementy \(\displaystyle{ x,y\in V}\). Mamy \(\displaystyle{ x=-a+2ai, y=-b+2bi}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in R}\). Wówczas \(\displaystyle{ a+b\in R}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=-(a+b)+2(a+b)i}\), więc \(\displaystyle{ x+y\in V}\).
a) Niech ponadto \(\displaystyle{ \alpha\in R}\) będzie dowolną liczbą. Mamy wtedy \(\displaystyle{ a\alpha\in R}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha x=-(a\alpha)+2(a\alpha)i}\), więc \(\displaystyle{ \alpha x\in V}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ R}\).
b) Wykażemy, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest podprzestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ C}\). Połóżmy \(\displaystyle{ \alpha=i\in C}\). Wówczas \(\displaystyle{ \alpha x=i(-a+2ai)=-2a-ai\notin V}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in R\setminus\{0\}}\), czyli nie jest spełniony jeden z warunków definicji podprzestrzeni liniowej: \(\displaystyle{ \alpha x\in V}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x\in V, \alpha\in C}\).