Generowanie przestrzeni.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
nwnuinr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 245 razy
Pomógł: 2 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: nwnuinr »

Cześć,

mam pewne pytanie do zadania:

Sprawdź z definicji czy podany zbiór wektorów jest bazą podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ B=\{(1,0,1),(1,2,2)\}, R^{3}}\)

pomińmy niezależność (są w każdym razie liniowo niezależne), chodzi mi o generowanie przestrzeni. W rozwiązaniu w skrypcie mam napisane, że nie generuje, bo nie można np. wektora \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) przedstawić za pomocą kombinacji liniowej pozostałych. I teraz pytanie: skąd mamy wiedzieć jakiego wektora przykładowego wziąć albo jak dojść do niego, czy możemy tylko "strzelać"?

Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

Wektorów jest za mało, aby mogły generować wybraną przestrzeń (powinny być 3). Wystarczy więc wziąć sobie dowolny wektor, który jest z podanymi liniowo niezależny (równie dobrze może to być np. (1,0,0)). Wówczas tego wektora na pewno nie da się przedstawić jako kombinacji liniowej danych wektorów.

Pozdrawiam.
nwnuinr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 245 razy
Pomógł: 2 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: nwnuinr »

a co jeśli mam przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\), a mam 4 wektory \(\displaystyle{ (a,b,c)}\)?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

To oczywiście wektorów jest za dużo i tym razem sypie się liniowa niezależność (rząd macierzy zbudowanej z tych wektorów jest równy max 3 czyli jest mniejszy od 4).

Pozdrawiam.
nwnuinr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 245 razy
Pomógł: 2 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: nwnuinr »

a jeśli będzie tak:

\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - jakieś liczby

\(\displaystyle{ \{(a,b),(c,d)\}, R^{3}}\)

to może to generować przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\)? Czy to jest zależne od ilości cyfr w wektorze czy tylko może generować gdy jest taka sama liczba wektorów co wymiarów przestrzeni niezależnie od ilości cyfr w wektorze?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

Te wektory w ogóle do \(\displaystyle{ R^3}\) nie należą, więc nie mogą jej generować

Pozdrawiam.
nwnuinr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 375
Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 245 razy
Pomógł: 2 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: nwnuinr »

jeszcze jedno pytanie do takiego zadania:

Wskaż bazę i określ wymiar podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ V=\{(2x,x+y,3x-y,x-2y):x,y \in R \}}\)

No i mam w rozwiązaniu napisane:
Z zależności \(\displaystyle{ (2x,x+y,3x-y,x-2y)=x(2,1,3,1)+y(0,1,-1,-2)}\) wynika, że wektory \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(2,1,3,1)}\), \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=(0,1,-1,-2)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ V}\)
no i moje pytanie skąd to wiadome? Zawsze robiłem macierz i liczyłem jej wyznacznik i jeśli był on różny od zera to znaczy, że to układ cramorowski, czyli generuje przestrzeń, ale tutaj ta macierz nie jest kwadratowa tylko \(\displaystyle{ 4x2}\), więc jak się do tego zabrać?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

Wektory generują przestrzeń jeśli każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową tych wektorów. Ponieważ dowolny element Twojej przestrzeni można zapisać jako sumę dwóch wektorów to znaczy, że te wektory generują przestrzeń (to oczywiście tylko przykładowy zbiór wektorów, który tą przestrzeń generuje, ale najłatwiej go znaleźć, więc nie ma sensu szukać innych ).

A teraz przejście od wektorów generujących do bazy: jeśli wektory generujące są liniowo niezależne, to tworzą bazę (jeśli nie są to można z nich wybrać bazę). Ponieważ te dwa wektory są liniowo niezależne, to tworzą bazę.

Liniową niezależność sprawdza się za pomocą rzędu macierzy (sprawdzanie za pomocą wyznacznika to szczególny przypadek) - jeśli rząd macierzy jest równy ilości wektorów, to one są liniowo niezależne.

Zatem układ tych dwóch wektorów stanowi przykładową bazę, stąd wymiar przestrzeni V jest równy 2 (=ilość wektorów bazowych).

Pozdrawiam.
Marcin1212
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 sty 2010, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk

Generowanie przestrzeni.

Post autor: Marcin1212 »

A wiec jaka jest metoda na sprawdzanie generowania przestrzeni?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

Marcin1212 pisze:A wiec jaka jest metoda na sprawdzanie generowania przestrzeni?
Nie rozumiem pytania. Jakiś kontekst? (Konkretny przykład?)

Pozdrawiam.
Marcin1212
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 sty 2010, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk

Generowanie przestrzeni.

Post autor: Marcin1212 »

Żeby sprawdzić czy dane wektory sa baza przestrzni nalezy:
a) sprawdzić ich liniową niezależność
b) sprawdzić czy generują cała przestrzeń(jeżeli ilośc wektorów jest inna niz wymiar przestrzeni)

Tak to wyglada, prawda?
Mnie chodzi o to w jaki sposób sprawdza się to generowanie. Jaka jest metoda na sprawdzenie tego?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Generowanie przestrzeni.

Post autor: BettyBoo »

Są różne metody sprawdzania, czy dany układ wektorów jest bazą. Tą metodą rozwiązuje się zadanie, jeśli generowanie po prostu widać (albo jest to podane).

Jeśli nie o to chodzi w pytaniu, to podaj konkretny przykład (i przenieśmy się na PW).

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ