Generowanie przestrzeni.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 245 razy
- Pomógł: 2 razy
Generowanie przestrzeni.
Cześć,
mam pewne pytanie do zadania:
Sprawdź z definicji czy podany zbiór wektorów jest bazą podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ B=\{(1,0,1),(1,2,2)\}, R^{3}}\)
pomińmy niezależność (są w każdym razie liniowo niezależne), chodzi mi o generowanie przestrzeni. W rozwiązaniu w skrypcie mam napisane, że nie generuje, bo nie można np. wektora \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) przedstawić za pomocą kombinacji liniowej pozostałych. I teraz pytanie: skąd mamy wiedzieć jakiego wektora przykładowego wziąć albo jak dojść do niego, czy możemy tylko "strzelać"?
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
mam pewne pytanie do zadania:
Sprawdź z definicji czy podany zbiór wektorów jest bazą podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ B=\{(1,0,1),(1,2,2)\}, R^{3}}\)
pomińmy niezależność (są w każdym razie liniowo niezależne), chodzi mi o generowanie przestrzeni. W rozwiązaniu w skrypcie mam napisane, że nie generuje, bo nie można np. wektora \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) przedstawić za pomocą kombinacji liniowej pozostałych. I teraz pytanie: skąd mamy wiedzieć jakiego wektora przykładowego wziąć albo jak dojść do niego, czy możemy tylko "strzelać"?
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
Wektorów jest za mało, aby mogły generować wybraną przestrzeń (powinny być 3). Wystarczy więc wziąć sobie dowolny wektor, który jest z podanymi liniowo niezależny (równie dobrze może to być np. (1,0,0)). Wówczas tego wektora na pewno nie da się przedstawić jako kombinacji liniowej danych wektorów.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
To oczywiście wektorów jest za dużo i tym razem sypie się liniowa niezależność (rząd macierzy zbudowanej z tych wektorów jest równy max 3 czyli jest mniejszy od 4).
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 245 razy
- Pomógł: 2 razy
Generowanie przestrzeni.
a jeśli będzie tak:
\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - jakieś liczby
\(\displaystyle{ \{(a,b),(c,d)\}, R^{3}}\)
to może to generować przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\)? Czy to jest zależne od ilości cyfr w wektorze czy tylko może generować gdy jest taka sama liczba wektorów co wymiarów przestrzeni niezależnie od ilości cyfr w wektorze?
\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - jakieś liczby
\(\displaystyle{ \{(a,b),(c,d)\}, R^{3}}\)
to może to generować przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\)? Czy to jest zależne od ilości cyfr w wektorze czy tylko może generować gdy jest taka sama liczba wektorów co wymiarów przestrzeni niezależnie od ilości cyfr w wektorze?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
Te wektory w ogóle do \(\displaystyle{ R^3}\) nie należą, więc nie mogą jej generować
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 245 razy
- Pomógł: 2 razy
Generowanie przestrzeni.
jeszcze jedno pytanie do takiego zadania:
Wskaż bazę i określ wymiar podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ V=\{(2x,x+y,3x-y,x-2y):x,y \in R \}}\)
No i mam w rozwiązaniu napisane:
Wskaż bazę i określ wymiar podanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ V=\{(2x,x+y,3x-y,x-2y):x,y \in R \}}\)
No i mam w rozwiązaniu napisane:
no i moje pytanie skąd to wiadome? Zawsze robiłem macierz i liczyłem jej wyznacznik i jeśli był on różny od zera to znaczy, że to układ cramorowski, czyli generuje przestrzeń, ale tutaj ta macierz nie jest kwadratowa tylko \(\displaystyle{ 4x2}\), więc jak się do tego zabrać?Z zależności \(\displaystyle{ (2x,x+y,3x-y,x-2y)=x(2,1,3,1)+y(0,1,-1,-2)}\) wynika, że wektory \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(2,1,3,1)}\), \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=(0,1,-1,-2)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ V}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
Wektory generują przestrzeń jeśli każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową tych wektorów. Ponieważ dowolny element Twojej przestrzeni można zapisać jako sumę dwóch wektorów to znaczy, że te wektory generują przestrzeń (to oczywiście tylko przykładowy zbiór wektorów, który tą przestrzeń generuje, ale najłatwiej go znaleźć, więc nie ma sensu szukać innych ).
A teraz przejście od wektorów generujących do bazy: jeśli wektory generujące są liniowo niezależne, to tworzą bazę (jeśli nie są to można z nich wybrać bazę). Ponieważ te dwa wektory są liniowo niezależne, to tworzą bazę.
Liniową niezależność sprawdza się za pomocą rzędu macierzy (sprawdzanie za pomocą wyznacznika to szczególny przypadek) - jeśli rząd macierzy jest równy ilości wektorów, to one są liniowo niezależne.
Zatem układ tych dwóch wektorów stanowi przykładową bazę, stąd wymiar przestrzeni V jest równy 2 (=ilość wektorów bazowych).
Pozdrawiam.
A teraz przejście od wektorów generujących do bazy: jeśli wektory generujące są liniowo niezależne, to tworzą bazę (jeśli nie są to można z nich wybrać bazę). Ponieważ te dwa wektory są liniowo niezależne, to tworzą bazę.
Liniową niezależność sprawdza się za pomocą rzędu macierzy (sprawdzanie za pomocą wyznacznika to szczególny przypadek) - jeśli rząd macierzy jest równy ilości wektorów, to one są liniowo niezależne.
Zatem układ tych dwóch wektorów stanowi przykładową bazę, stąd wymiar przestrzeni V jest równy 2 (=ilość wektorów bazowych).
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 8 sty 2010, o 18:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krk
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
Nie rozumiem pytania. Jakiś kontekst? (Konkretny przykład?)Marcin1212 pisze:A wiec jaka jest metoda na sprawdzanie generowania przestrzeni?
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 8 sty 2010, o 18:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krk
Generowanie przestrzeni.
Żeby sprawdzić czy dane wektory sa baza przestrzni nalezy:
a) sprawdzić ich liniową niezależność
b) sprawdzić czy generują cała przestrzeń(jeżeli ilośc wektorów jest inna niz wymiar przestrzeni)
Tak to wyglada, prawda?
Mnie chodzi o to w jaki sposób sprawdza się to generowanie. Jaka jest metoda na sprawdzenie tego?
a) sprawdzić ich liniową niezależność
b) sprawdzić czy generują cała przestrzeń(jeżeli ilośc wektorów jest inna niz wymiar przestrzeni)
Tak to wyglada, prawda?
Mnie chodzi o to w jaki sposób sprawdza się to generowanie. Jaka jest metoda na sprawdzenie tego?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Generowanie przestrzeni.
Są różne metody sprawdzania, czy dany układ wektorów jest bazą. Tą metodą rozwiązuje się zadanie, jeśli generowanie po prostu widać (albo jest to podane).
Jeśli nie o to chodzi w pytaniu, to podaj konkretny przykład (i przenieśmy się na PW).
Pozdrawiam.
Jeśli nie o to chodzi w pytaniu, to podaj konkretny przykład (i przenieśmy się na PW).
Pozdrawiam.