Znaleźć wzór przekształcenia

[m45turbo]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ M_{B}^{A}(\Phi)\,=\,\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\0&-1&2&0\\1&0&0&1\end{array}\right]}\) oraz bazy A=((0,-1,1,3),(5,-1,0,2),(-7,3,-1,0),(-3,1,0,1)), B=((1,2,1),(-1,2,3),(1,2,3)). Znaleźć wzór przekształcenia \(\displaystyle{ \Phi}\).
Wiem jak zacząć. Otóż:
\(\displaystyle{ \Phi(0,-1,1,3)=1*(1,2,1)+0*(-1,2,3)+1*(1,2,3)=(2,4,4)}\)
Analogicznie:
\(\displaystyle{ \Phi(5,-1,0,2)=(1,-2,-3)}\)
\(\displaystyle{ \Phi(-7,3,-1,0)=(-1,6,7)}\)
\(\displaystyle{ \Phi(-3,1,0,1)=(2,4,4)}\)
I teraz nie mam pojęcia, co trzeba zrobić dalej. Czy mógłby ktoś dać jakąś wskazówkę/pokazać, co trzeba teraz zrobić?

[Zlodiej]

U nas na zajęciach o ile dobrze pamiętam był schemat:

Ustawiasz wektory z obrazu przekształcenia w kolumnach i masz:

\(\displaystyle{ M_{A}^{st}(\Phi)\,=\,\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&2\\4&-2&6&4\\4&-3&7&4\end{array}\right]}\)

Ustawiasz wektory bazy A kolumnach i masz:

\(\displaystyle{ M_{A}^{st}(Id)\,=\,\left[\begin{array}{cccc}0&5&-7&-3\\-1&-1&3&1\\1&0&-1&0\\3&2&0&1\end{array}\right]}\)

Macierz przekształcenia w bazach standardowych liczy się ze wzoru:

\(\displaystyle{ M_{st}^{st}(\Phi)=M_{A}^{st}(\Phi)\cdot M_{st}^{A}(Id)}\)

\(\displaystyle{ M_{st}^{A}(Id)=(M_{A}^{st}(Id))^{-1}}\)

[m45turbo]

Dobra, przy odwracaniu macierzy przy pomocy doklejonej jednostkowej musiałem się gdzieś pomylić, bo nie wyszło, a odwracanie licząc transponowaną macierz dopełnień nie wchodzi w grę, bo nie będę miał na kolosie czasu na cykanie się z takimi rachunkami - nie ma na pewno jakiejś szybszej metody?;p
Jest identyczne zadanie w "Algebrze dla studentów" Klukowskiego(strona 119), z macierzą 3x3, tylko nie rozumiem tam następnego kroku po tym, który jak już napisałem rozumiem ;p Zaraz przepiszę, jeśli będę miał więcej czasu.
No więc jest tam tak: dana jest macierz \(\displaystyle{ M_{B}^{A}(\Phi)\,=\,\left[\begin{array}{cccc}1&2&0\\2&3&1\\1&1&2\end{array}\right]}\) i bazy A=((1,1,1),1,1,0),(1,0,0)) oraz B=((0,0,1),(0,1,1),(1,1,1). Znaleźć wzór przekształcenia.
Fi(1,1,1)=(1,3,4)
Fi(1,1,0)=(1,4,6)
Fi(1,0,0)=(2,3,3)
Ponieważ (x,y,z)=z(1,1,1)+(y-z)(1,1,0)+(x-y)(1,0,0)
więc fi(x,y,z)=z(1,3,4)+(y-z)(1,4,6)+(x-y)(2,3,3)
fi(x,y,z)=(2x-y,3x+y-z,3x+3y-2z)

No więc nie mam pojęcia skąd się bierze zapis wektora (x,y,z) w akapicie "Ponieważ". Dalej już wszystko jest jasne, tylko właśnie ten jeden moment jest punktem krytycznym w rozwiązaniu całego zadania ;p

Edycja: ok, już wiem. Cytując z innego forum:
Tu chodzi o to że mając takie równanie:
(x,y,z)=A(1,1,1)+B(1,1,0)+C(1,0,0)
szukamy odpowiednich A, B,C które po przemnożeniu przez wektory bazy A doprowadzą nas do współrzędnych x,y,z i tak otrzymujemy z tego 3 równania:
x=A+B+C
y=A+B
z=A
no i z tego wychodzi:
A=z
B=y-z
C=x-y
Następnie jest po prostu robione przekształcenie od wszystkich wektorów dzieki czemu otrzymujemy ogólny wzór przekształczenia fi.

[Skynet]

Mógłby ktoś rozjaśnić ten przykład i przedstawić rozwiązanie? Nie bardzo rozumiem jak to policzyć. Pierwsza metoda jest tak zagmatwana liczenie macierzy odwrotenj ze nie bardzo wchodzi w grę. Drugiej z koli ni rozumiem.