Witam!
Czy mógłbym prosić o rozwiązanie tego przykładu krok po kroku? Uczę się sam w domu algebry liniowej (macierzy) i staram się to jakoś pojąć. Z góry dziękuję.
Przykład:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X = 4X + \begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Równanie macierzowe
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 20 mar 2009, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 60 razy
Równanie macierzowe
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X = 4X + \begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4x&2x\\-1x&4x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4x&0\\0&4x\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4x&2x\\-x&4x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4x-2&-2\\0&4x-1\end{bmatrix}}\)
Wyszlo mi cos takiego ale wynik jest sprzeczny, chetnie rowniez uslysze rozwiazanie tego zadania.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4x&2x\\-1x&4x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4x&0\\0&4x\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4x&2x\\-x&4x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4x-2&-2\\0&4x-1\end{bmatrix}}\)
Wyszlo mi cos takiego ale wynik jest sprzeczny, chetnie rowniez uslysze rozwiazanie tego zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 2 lis 2009, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie macierzowe
Tego sie tak nie robi, X to jest macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X = 4X + \begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Przenosze 4X na lewa strone
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X -4X =\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Wyciagam X przed nawias (X jest za nawiasem, to jest wazne, bo jest macierz*X, a nie X*macierz, jesli X byloby liczba to napisalbym macierz+1 jednak X jest macierza wiec 1 trzeba zastapic macierza jednostkowa)
\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Dodaje to co w nawiasie
\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4&0\\0&4\end{bmatrix}\right)X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Mnoze przez odwrotnosc macierzy przed X (z lewej strony, bo X jest po prawej)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}/*\begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}^{-1}}\)
Obliczam macierz odwrotna
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2} &0\end{bmatrix}}\)
Wyznaczam X (mnoze przez odwrotnosc macierzy, zauwaz ze ta macierz odwrotna jest przed ta druga, bo mnoze z lewej strony)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2} &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Obliczam X
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X = 4X + \begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Przenosze 4X na lewa strone
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix} * X -4X =\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Wyciagam X przed nawias (X jest za nawiasem, to jest wazne, bo jest macierz*X, a nie X*macierz, jesli X byloby liczba to napisalbym macierz+1 jednak X jest macierza wiec 1 trzeba zastapic macierza jednostkowa)
\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Dodaje to co w nawiasie
\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 4&2\\-1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4&0\\0&4\end{bmatrix}\right)X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Mnoze przez odwrotnosc macierzy przed X (z lewej strony, bo X jest po prawej)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}/*\begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}^{-1}}\)
Obliczam macierz odwrotna
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2} &0\end{bmatrix}}\)
Wyznaczam X (mnoze przez odwrotnosc macierzy, zauwaz ze ta macierz odwrotna jest przed ta druga, bo mnoze z lewej strony)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2} &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2&0\\0&-1\end{bmatrix}}\)
Obliczam X
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2009, o 01:31 przez makshh, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie macierzowe
Można to zadanie rozwiązać na dwa sposoby:
1) równanie ma postać AX=4X+B, a więc można z niego wyznaczyć X zgodnie za zasadami działań na macierzach (I oznacza macierz jednostkową):
\(\displaystyle{ AX-4X=B\ \Rightarrow \ AX-4IX=B\ \Rightarrow \ (A-4I)X=B\ \Rightarrow \ X=(A-4I)^{-1}B}\)
Zanim wykonamy to ostatnie przekształcenie oczywiście musimy się upewnić, że macierz odwrotna istnieje, czyli że \(\displaystyle{ det(A-4I)\neq 0}\). Zatem ta metoda rozwiązania działa wyłącznie pod warunkiem, że istnieje odpowiednia macierz odwrotna. Teraz tylko wystarczy wykonać działania i gotowe.
2) Ustalamy, że X jest macierzą wymiaru 2x2 (co wynika z postaci tego równania), czyli \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}a& b\\c&d\end{bmatrix}}\). Teraz wstawiamy to do równania, wymnażamy i otrzymujemy do rozwiązania układ 4 równań z 4 niewiadomymi. Metoda jest uniwersalna, ale (zwykle) bardziej pracochłonna.
Pozdrawiam.
1) równanie ma postać AX=4X+B, a więc można z niego wyznaczyć X zgodnie za zasadami działań na macierzach (I oznacza macierz jednostkową):
\(\displaystyle{ AX-4X=B\ \Rightarrow \ AX-4IX=B\ \Rightarrow \ (A-4I)X=B\ \Rightarrow \ X=(A-4I)^{-1}B}\)
Zanim wykonamy to ostatnie przekształcenie oczywiście musimy się upewnić, że macierz odwrotna istnieje, czyli że \(\displaystyle{ det(A-4I)\neq 0}\). Zatem ta metoda rozwiązania działa wyłącznie pod warunkiem, że istnieje odpowiednia macierz odwrotna. Teraz tylko wystarczy wykonać działania i gotowe.
2) Ustalamy, że X jest macierzą wymiaru 2x2 (co wynika z postaci tego równania), czyli \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}a& b\\c&d\end{bmatrix}}\). Teraz wstawiamy to do równania, wymnażamy i otrzymujemy do rozwiązania układ 4 równań z 4 niewiadomymi. Metoda jest uniwersalna, ale (zwykle) bardziej pracochłonna.
Pozdrawiam.