Macierz - oblicz macierz X

[Zuo]

Niech A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\3&2\end{bmatrix}}\) oraz B = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&5\end{bmatrix}}\). Niech X będzie taką macierzą, że \(\displaystyle{ AXA^{-1}=B}\). Jak wygląda macierz X?

Od czego zaczęłam, otóż:
\(\displaystyle{ A^{-1}}\) = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1\\3&-1\end{bmatrix}}\)
X przedstawiłam jako macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) i podstawiłam pod wzór kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\3&2\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1\\3&-1\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&5\end{bmatrix}}\)

Po dłyższych obliczeniach wyszło:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -2a-2c+3b+3d=1\\a+c-b-d=1\\-6a-4c-9b-6d=0\\3a+2c-3b-2d=5 \end{array}}\) Sprawdzałam kilka razy i wydaje mi się że dobre obliczenia zrobiłam. Więc dalej tworzę macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&+3&-2&+3&1\\1&-1&1&-1&1\\-6&-9&-4&-6&0\\3&-3&2&-2&5\end{bmatrix}}\)
Dalej coś mi nie idzie, proszę o pomoc

[Tomasz Tkaczyk]

Można prościej, to znaczy bez konieczności rozwiązywania układu czterech równań z czterema niewiadomymi.

\(\displaystyle{ AXA^{-1} = B}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ X = A^{-1}BA}\).

[Zuo]

Wszystko się zgadza teraz Dziekuję

[Mariusz M]

Ale jeżeli chcesz rozwązać ten układ to proponuję rozkład LU
lub eliminację Gaussa

Rozkład LU=PA macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\- \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{1}{3}&- \frac{4}{5}&1&0\\- \frac{1}{6}& \frac{1}{3}&- \frac{1}{2}&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -6&-9&-4&-6 \\0&- \frac{15}{2}&0&-5\\0&0&- \frac{2}{3}&1\\0&0&0& \frac{1}{6} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2&3&-2&3 \\ 1&-1&1&-1\\-6&-9&-4&-6\\3&-3&2&-2 \end{bmatrix}}\)

i rozwiązujesz dwa trójkątne układy

Jak już mój poprzednik zauważył nie musisz tego robić

[Zuo]

Dziękuję ale już poprzednim sposobem doszłam do tego
A co powiecie na to?
\(\displaystyle{ AX=X+B}\)

to będzie
\(\displaystyle{ X=}\)\(\displaystyle{ A^{-1}*(X+B)}\)?

[Tomasz Tkaczyk]

Te równania są równoważne, o ile \(\displaystyle{ A}\) ma macierz odwrotną.

[Zuo]

tak, "A" ma macierz odwrotną
To w takim razie wystarczy podstawić pod te litery odpowiednie macierze i wyliczyć?