Niech A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\3&2\end{bmatrix}}\) oraz B = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&5\end{bmatrix}}\). Niech X będzie taką macierzą, że \(\displaystyle{ AXA^{-1}=B}\). Jak wygląda macierz X?
Od czego zaczęłam, otóż:
\(\displaystyle{ A^{-1}}\) = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1\\3&-1\end{bmatrix}}\)
X przedstawiłam jako macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) i podstawiłam pod wzór kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\3&2\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1\\3&-1\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&5\end{bmatrix}}\)
Po dłyższych obliczeniach wyszło:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -2a-2c+3b+3d=1\\a+c-b-d=1\\-6a-4c-9b-6d=0\\3a+2c-3b-2d=5 \end{array}}\) Sprawdzałam kilka razy i wydaje mi się że dobre obliczenia zrobiłam. Więc dalej tworzę macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&+3&-2&+3&1\\1&-1&1&-1&1\\-6&-9&-4&-6&0\\3&-3&2&-2&5\end{bmatrix}}\)
Dalej coś mi nie idzie, proszę o pomoc
Macierz - oblicz macierz X
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Macierz - oblicz macierz X
Można prościej, to znaczy bez konieczności rozwiązywania układu czterech równań z czterema niewiadomymi.
\(\displaystyle{ AXA^{-1} = B}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ X = A^{-1}BA}\).
\(\displaystyle{ AXA^{-1} = B}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ X = A^{-1}BA}\).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Macierz - oblicz macierz X
Ale jeżeli chcesz rozwązać ten układ to proponuję rozkład LU
lub eliminację Gaussa
Rozkład LU=PA macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\- \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{1}{3}&- \frac{4}{5}&1&0\\- \frac{1}{6}& \frac{1}{3}&- \frac{1}{2}&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -6&-9&-4&-6 \\0&- \frac{15}{2}&0&-5\\0&0&- \frac{2}{3}&1\\0&0&0& \frac{1}{6} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2&3&-2&3 \\ 1&-1&1&-1\\-6&-9&-4&-6\\3&-3&2&-2 \end{bmatrix}}\)
i rozwiązujesz dwa trójkątne układy
Jak już mój poprzednik zauważył nie musisz tego robić
lub eliminację Gaussa
Rozkład LU=PA macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\- \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{1}{3}&- \frac{4}{5}&1&0\\- \frac{1}{6}& \frac{1}{3}&- \frac{1}{2}&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -6&-9&-4&-6 \\0&- \frac{15}{2}&0&-5\\0&0&- \frac{2}{3}&1\\0&0&0& \frac{1}{6} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2&3&-2&3 \\ 1&-1&1&-1\\-6&-9&-4&-6\\3&-3&2&-2 \end{bmatrix}}\)
i rozwiązujesz dwa trójkątne układy
Jak już mój poprzednik zauważył nie musisz tego robić
Macierz - oblicz macierz X
Dziękuję ale już poprzednim sposobem doszłam do tego
A co powiecie na to?
\(\displaystyle{ AX=X+B}\)
to będzie
\(\displaystyle{ X=}\)\(\displaystyle{ A^{-1}*(X+B)}\)?
A co powiecie na to?
\(\displaystyle{ AX=X+B}\)
to będzie
\(\displaystyle{ X=}\)\(\displaystyle{ A^{-1}*(X+B)}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Macierz - oblicz macierz X
Te równania są równoważne, o ile \(\displaystyle{ A}\) ma macierz odwrotną.
Macierz - oblicz macierz X
tak, "A" ma macierz odwrotną
To w takim razie wystarczy podstawić pod te litery odpowiednie macierze i wyliczyć?
To w takim razie wystarczy podstawić pod te litery odpowiednie macierze i wyliczyć?