ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Zmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2009, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: Zmora »

witam, muszę ustalić od ilu parametrów (rozwiązania) zależy rozwiązanie tego układu.
\(\displaystyle{ 3x -ay +(3-a)z=0}\)
\(\displaystyle{ 2x- 2y +(3+3a)z=-2}\)
\(\displaystyle{ ax- ay +3z=-1}\)
wiem że muszę obliczyć rząd macierzy A, rząd macierzy rozszerzonej, sprawdzić czy są równe, a ilość parametrów to ilość niewiadomych minus rząd macierzy A.
rząd macierzy rozszerzonej wyszedł mi 4, a w macierzy A dodałem drugą kolumnę do pierwszej i utknąłem na stanie
rz(A)=1+ \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&3+3a\\-a&3\end{array}\right]}\)
ale tu już widać ,że rz(A) będzie max 3, czyli układ sprzeczny. No i było by fajnie gdyby nie to, że dalsza część polecenia to "dla jakich wartości parametru a układ ten jest sprzeczny, a dla jakich ma on więcej niz jedno rozwiązanie"-> to zrobiłem bez problemu, ale zastanawiam sie czy jeśli układ ma więcej niz jedno rozwiązanie, a mi wyszło że jest sprzeczny, to czy nie mam jakiegoś błędu.
pozdrawiam
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: BettyBoo »

Po pierwsze, rząd macierzy rozszerzonej jest równy max 3, więc nie wiem skąd Ci 4 wyszlo

Po drugie mamy

\(\displaystyle{ r\left[\begin{array}{ccc}-2&3+3a\\-a&3\end{array}\right]=2\ \Leftrightarrow \ \left|\begin{array}{ccc}-2&3+3a\\-a&3\end{array}\right|\neq 0\ \Leftrightarrow \ a\neq 1\vee a\neq -2}\)

A więc r(A)=2 dla a=1 oraz a=-2, a 3 dla pozostałych. Teraz to porównaj z (poprawnie obliczonym! ) rzędem macierzy rozszerzonej.

Pozdrawiam.
Zmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2009, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: Zmora »

dobra, juz łapie ...chyba:) rząd macierzy rozszerzonej to 3, a macierzy A to dwa lub trzy, czyli albo będzie rozwiązanie z 1 parametrem rozwiązania, albo bez parametrów, tak?

tak się zastanawiam jeszcze...wyliczyłem, że wyznacznik macierzy a zeruje się dla a= -2 lub 1 lub 3. kiedy podstawiam -2 lub 3 wychodzi mi układ sprzeczny. kiedy podstawię 1 otrzymuję rozwiązanie z jedny parametrem rozwiązania. czy w ten sposób też można to zadanie rozwiązać, czy to może jest nie poprawne, bo np, nie uwzglednia pozostałych wartości prametru a?

i jeszcze chciałbym sie upewnić...rząd minora który pokazałaś jest równy 2 gdy jego wyznacznik jest niezerowy, czyli dla a równego 1 lub -2 jego rząd wynosi zero, tak?

pozdrawiam
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: BettyBoo »

Zmora pisze:dobra, juz łapie ...chyba:) rząd macierzy rozszerzonej to 3, a macierzy A to dwa lub trzy, czyli albo będzie rozwiązanie z 1 parametrem rozwiązania, albo bez parametrów, tak?
Jeśli rząd macierzy rozszerzonej jest zawsze równy 3, niezależnie od a, to oczywiście tak.
Zmora pisze: tak się zastanawiam jeszcze...wyliczyłem, że wyznacznik macierzy a zeruje się dla a= -2 lub 1 lub 3. kiedy podstawiam -2 lub 3 wychodzi mi układ sprzeczny. kiedy podstawię 1 otrzymuję rozwiązanie z jedny parametrem rozwiązania. czy w ten sposób też można to zadanie rozwiązać, czy to może jest nie poprawne, bo np, nie uwzglednia pozostałych wartości prametru a?
Można, to uwzględnia wszystkie wartości parametru.
Zmora pisze: i jeszcze chciałbym sie upewnić...rząd minora który pokazałaś jest równy 2 gdy jego wyznacznik jest niezerowy, czyli dla a równego 1 lub -2 jego rząd wynosi zero, tak?
Edit Nie, wyznacznik będzie 0 równy zero, ale rząd będzie 1 (bo macierz jest niezerowa).

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 3 gru 2009, o 20:36 przez BettyBoo, łącznie zmieniany 1 raz.
Zmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2009, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: Zmora »

dziękuję:)
pozdrawiam
makshh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 2 lis 2009, o 18:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: makshh »

BettyBoo pisze:
Zmora pisze:dobra, juz łapie ...chyba:) rząd macierzy rozszerzonej to 3, a
Zmora pisze: i jeszcze chciałbym sie upewnić...rząd minora który pokazałaś jest równy 2 gdy jego wyznacznik jest niezerowy, czyli dla a równego 1 lub -2 jego rząd wynosi zero, tak?
Tak

Pozdrawiam.
A rzad nie bedzie wynosil wtedy 1?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: BettyBoo »

No jasne, że 1...ja już zdecydowanie powinnam iść spać, skoro mi się zera z jedynkami mylą więc dobranoc

Pozdrawiam.
Zmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2009, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: Zmora »

jeden to będzi rząd całej macierzy. mi chodziło o samo to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&3+3a\\-a&3\end{array}\right]}\)
pozdrawiam
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: BettyBoo »

No właśnie rząd tej macierzy będzie 1 (zero nie może być, bo macierz jest niezerowa!), więc rząd oryginalnej będzie 2.

Pozdrawiam.
Zmora
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2009, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 3 razy

ustalić od ilu parametrów zależy rozwiązanie

Post autor: Zmora »

aha. dzięki:)

pozdrawiam
ODPOWIEDZ