Podprzestrerzeń liniowa

[madaf007]

Niech \(\displaystyle{ V=\{[x_1,...,x_n]\in R^n: x_1=x_2=x_3=...=x_k\}}\) dla pewnego ustalonego k<n. Czy V jest podprzetrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R_n}\)?

Nie wiem jak zabrać się za to. Czytam notatki w wykładu ale nic z nich nie rozumiem. Czy tutaj chodzi o to, że trzeba dobrać drugi wektor w=[y1,...,yn] i że u+w należy do V i sprawdzamy czy należy? I według mnie nie należy. Bo dodając te dwa wektory u+w, gdzie u=[x1,..,xn] wartości będą całkiem inne. Czy dobrze mniej więcej myśle? Proszę o wytłumaczenie.

Po głębszym zastanowieniu może być podprzestrzenia liniową, gdyż jeśli x1 do xn= 0 to y1 do yn tak samo równa się zero więc suma tych wektorów jest równa zero. Proszę mnie naprowadzić:P

Po jeszcze gębszym przestudiowaniu widzę, że napisałem lekkie bzdury:P V jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R^n}\) bo \(\displaystyle{ \alpha_1\vec{w_1}+\alpha_2\vec{w_2}=[\alpha_1x_1+\alpha_2y_1, \alpha_1x_1+\alpha_2y_1,...., \alpha_1x_1+\alpha_2x_2,\alpha_1x_n+\alpha_2y_n] \in R^n}\). Zgadza się?

[Tomasz Tkaczyk]

Trzeba po prostu sprawdzić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in V}\) także \(\displaystyle{ ax + by \in V}\) dla każdych \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x = (x_{1}, ..., x_{n}), y = (y_{1}, ..., y_{n}) \in V}\).

Zatem \(\displaystyle{ x_{1} = ... = x_{k}, y_{1} = ... = y_{k}}\).

Wówczas

\(\displaystyle{ ax + by = (ax_{1}, ... , ax_{n}) + (by_{1}, ... , by_{n}) = (ax_{1} + by_{1}, ... , ax_{n} + by_{n})}\).

Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ 1 \le m < k}\)

\(\displaystyle{ ax_{m} + by_{m} = ax_{m + 1} + by_{m + 1}}\) z założenia, zatem

\(\displaystyle{ ax_{1} + by_{1} = ax_{2} + by_{2} = ... = ax_{k} + by_{k}}\), co świadczy o tym, że

\(\displaystyle{ ax + by \in V}\).