Udowodnienie twierdzenia + jeszcze coś
-
threetwos
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 20 paź 2009, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 7 razy
Udowodnienie twierdzenia + jeszcze coś
Witam! Potrzebuje udowodnić twierdzenie: Układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) (n > 1) jest liniowo zalezny wtedy i tylko wtedy, gdy jednen z wektorów jest kombinacja liniowa pozostałych. i nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić! Będę wdzięczny za każdą pomoc:) pozdrawiam threetwos
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Udowodnienie twierdzenia + jeszcze coś
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{1} = a_{2}x_{2} +...+ a_{n}x_{n}}\).
Jest to równoważne temu, że \(\displaystyle{ x_{1} - a_{2}x_{2} - ... - a_{n}x_{x} = 0}\), co jest równoważne temu, że wektory \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) są liniowo zależne.-- 2 grudnia 2009, 15:22 --Dokładniej:
Załóżmy, że jeden z wektorów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) jest kombinacją liniową pozostałych.
Bez straty ogólności można założyć, że ten z wektorów to \(\displaystyle{ x_{1}}\).
To oznacza, że istnieje taki układ liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_{2}, a_{3}, ..., a_{n})}\), że
\(\displaystyle{ x_{1} = a_{2}x_{2} + ... + a_{n}x_{n}}\).
Zatem \(\displaystyle{ x_{1} - a_{2}x_{2} - ... - a_{n}x_{n} = 0}\).
\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) są więc liniowo zależne, gdyż
istnieją \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}, ... , b_{n} \in \mathbb{R}}\) takie, że
\(\displaystyle{ b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ... + b_{n}x_{n} = 0}\).
Powyższe formuły są sobie równoważne, zatem twierdzenie zostało dowiedzione.
Jest to równoważne temu, że \(\displaystyle{ x_{1} - a_{2}x_{2} - ... - a_{n}x_{x} = 0}\), co jest równoważne temu, że wektory \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) są liniowo zależne.-- 2 grudnia 2009, 15:22 --Dokładniej:
Załóżmy, że jeden z wektorów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) jest kombinacją liniową pozostałych.
Bez straty ogólności można założyć, że ten z wektorów to \(\displaystyle{ x_{1}}\).
To oznacza, że istnieje taki układ liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_{2}, a_{3}, ..., a_{n})}\), że
\(\displaystyle{ x_{1} = a_{2}x_{2} + ... + a_{n}x_{n}}\).
Zatem \(\displaystyle{ x_{1} - a_{2}x_{2} - ... - a_{n}x_{n} = 0}\).
\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}\) są więc liniowo zależne, gdyż
istnieją \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}, ... , b_{n} \in \mathbb{R}}\) takie, że
\(\displaystyle{ b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ... + b_{n}x_{n} = 0}\).
Powyższe formuły są sobie równoważne, zatem twierdzenie zostało dowiedzione.