przestrzeń funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą
-
x_x_x
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bartoszyce
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 4 razy
przestrzeń funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą
Udowodnij że przestrzeń funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) z topologią zwarto-otwartą nie jest unormowana.
-
WC Piker
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 14:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: za klozetem
- Pomógł: 2 razy
przestrzeń funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą
Przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna jeśli istnieje w niej ograniczone i wypukłe otoczenie zera.
Niech więc \(\displaystyle{ V}\) będzie otoczeniem zera w topologii zwarto-otwartej przestrzeni \(\displaystyle{ C (\mathbb{R} )}\) . Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ V=\{f\in C (\mathbb{R} ): f([a_i ,b_i ])\subset (-r,r) \mbox{ dla } i=1,2...,n\} \mbox{ dla pewnej liczby } r>0}\) . Niech \(\displaystyle{ b=\max_{1 \le j \le n} \{b_j\}}\) , \(\displaystyle{ a=\min_{1 \le j \le n} \{a_j\}}\). Weźmy \(\displaystyle{ U=\{f\in C (\mathbb{R} ): f([b+1 ,b+2])\subset (-1,1)\}}\) . Jest jasne, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f\in V}\) i dowolnej funkcji \(\displaystyle{ g\in C (\mathbb{R} )}\) , funkcję \(\displaystyle{ f|_{[a,b]}}\) można przedłużyć w sposób ciągły na całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) w ten sposób aby \(\displaystyle{ f(x)=g(x)\mbox{ dla } x \ge b+1}\) . Stąd już łatwo widać, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) aby zachodziła inkluzja \(\displaystyle{ \varepsilon \cdot V\subset U}\), czyli przestrzeń \(\displaystyle{ C (\mathbb{R} )}\) z topologią zwarto-otwartą nie posiada ograniczonego otoczenia zera, nie może więc być normowalna.
Niech więc \(\displaystyle{ V}\) będzie otoczeniem zera w topologii zwarto-otwartej przestrzeni \(\displaystyle{ C (\mathbb{R} )}\) . Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ V=\{f\in C (\mathbb{R} ): f([a_i ,b_i ])\subset (-r,r) \mbox{ dla } i=1,2...,n\} \mbox{ dla pewnej liczby } r>0}\) . Niech \(\displaystyle{ b=\max_{1 \le j \le n} \{b_j\}}\) , \(\displaystyle{ a=\min_{1 \le j \le n} \{a_j\}}\). Weźmy \(\displaystyle{ U=\{f\in C (\mathbb{R} ): f([b+1 ,b+2])\subset (-1,1)\}}\) . Jest jasne, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f\in V}\) i dowolnej funkcji \(\displaystyle{ g\in C (\mathbb{R} )}\) , funkcję \(\displaystyle{ f|_{[a,b]}}\) można przedłużyć w sposób ciągły na całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) w ten sposób aby \(\displaystyle{ f(x)=g(x)\mbox{ dla } x \ge b+1}\) . Stąd już łatwo widać, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) aby zachodziła inkluzja \(\displaystyle{ \varepsilon \cdot V\subset U}\), czyli przestrzeń \(\displaystyle{ C (\mathbb{R} )}\) z topologią zwarto-otwartą nie posiada ograniczonego otoczenia zera, nie może więc być normowalna.