Dla jakich m macierz jest nieosobliwa?

[malinka612]

Dla jakich \(\displaystyle{ m\in R}\) macierz : A= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&2&1&0\\x&1&0&1\\m&x&1&1\\-1&0&2&-1\end{bmatrix}}\) jest nieosobliwa dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\)?

jak się do tego zabrać? Obliczyć wyznacznik, rozwiązać go i obliczyć? coś dalej?

[JankoS]

Chyba trzeba policzyć ten wyznacznik i przedyskutować jakieś równanie.
Policzę wyzncznik korzystając z jego własności. Na poczatku zamienię pierwszą kolumnę z trzecią .
\(\displaystyle{ =\begin{vmatrix} 1&2&-1&0\\0&1&x&1\\1&x&m&1\\2&0&-1&-1\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1&2&-1&0\\0&1&x&1\\0&x-2&m+1&1\\0&-2&1&-1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1&2&-1&0\\0&1&x&1\\0&0&x(2-x)+m+1&3-x\\0&0&2x+1&1\end{vmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{vmatrix} 1&2&0&-1\\0&1&1&x\\0&0&3-x&2x-x^2+m+1\\0&0&1&2x+1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1&2&0&-1\\0&1&1&x\\0&0&1&2x+1\\0&0&3-x&2x-x^2+m+1\\\end{vmatrix}=-}\)
\(\displaystyle{ =-\begin{vmatrix} 1&2&0&-1\\0&1&1&x\\0&0&1&2x+1\\0&0&0&(2x+1)((x-3)+2x-x^2+m+1\\\end{vmatrix}=\\=-[(2x+1)((x-3)+2x-x^2+m+1].}\)
Pozostaje wyznaczyć te wartości m, dla których ostatnie równanie nie ma pierwiasków (jego wyróżnik jest ujemny)

[malinka612]

Janko, a jak to dalej obliczyć? Przyznam się szczerze że nie jestem jakaś mega zdolna z matematyki...
tutaj jeśli dobrze widzę jest układ równań z dwiema niewiadomymi?

[JankoS]

To jest równanie z jedna niewiadoma x iparametrem m. Trzeba wyznaczyć takie wartości m, dla których \(\displaystyle{ \Delta=25-4(m-2)<0.}\)