wyznaczniki - macierz odwrotna

[gentki]

znaleźć macierz odwrotną do macierzy(metoda lapleaca)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{array}\right]}\)
prosze o rozwiazanie i z góry dziękuję

[falko1]

Z tego co widziałem na tym forum (jestem nowy) to raczej unika się podania bezpośredniego rozwiązania a promuje raczej wskazówki... A zatem, żeby policzyć macierz odwrotną, trzeba:
1) policzyć jej wyznacznik
2) utworzyć macierz dopełnień - jeśli nie wiesz o co chodzi, to po prostu skreśl wiersz i kolumnę, które przecinają się w danym miejscu i policz wyznacznik z pozostałych wyrazów. Np. dla liczby "-2" stojącej w 2 wierszu i 3 kolumnie skreślasz właśnie ten wiersz i kolumnę i zostaje ci:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2\\2&-2\end{vmatrix}}\)
Należy jeszcze pamiętać o znakach tych dopełnień - tutaj wystarczy jeśli zapamiętasz, że w lewym górnym rogu jest "+" i występuje na przemian z "-" idąc w dół lub prawo. Dla powyższej pozycji wychodzi zatem znak "-" (idąc w prawo masz kolejno +,-,+ a potem w dół o jedno masz "-"), co oznacza, że wynik tego wyznacznika musisz dodatkowo pomnożyć przez "-1".
3) tak utworzoną macierz dopełnień (z właściwymi znakami wynikającymi z uwagi wyżej) transponujesz, czyli zamieniasz miejscami wiersze i kolumny
4) transponowaną macierz dopełnień (zwaną chyba macierzą dołączoną) dzielisz przez obliczony w pkt 1 wyznacznik, czyli dzielisz przez niego każdy element pierwotnej macierzy.
5) możesz sprawdzić wynik, tzn. pomnożyć macierz odwrotną przez macierz wyjściową i powinna wyjść macierz jednostkową (na przekątnej jedynki, pozostałe miejsca to zera).

U mnie wyszło, że macierz odwrotna ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{bmatrix}}\)

[solmech]

Troche inna metoda rozwiazania tego zadania, moim zdaniem troche latwiejsza:
(Metoda Gaußa - Jordana)

post591158.htm#p591158

[gentki]

utworzyć macierz dopełnień ok rozumiem, ale którą kolumne do ktorej dodac lub wiersz, bo tak mnie uczyli zeby zera były

[falko1]

którą kolumne do ktorej dodac lub wiersz,

Nie dodajesz kolumn lub wierszy tylko skreślasz te, które przecinają się w miejscu, gdzie stoi liczba, dla której liczysz dopełnienie. Inaczej mówiąc, dla liczby -2 stojącej w 3. wierszu i 2. kolumnie, skreślasz 3. wiersz i 2 kolumnę i zostaje Ci:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2\\2&-2\end{vmatrix}}\)

Liczysz sobie z tego wyznacznik, czyli 1*(-2)-2*2=-2-4=-6. Ponieważ temu miejscu jest przypisany znak minus, mnożysz otrzymany wynik (-6) przez -1 i w macierzy dopełnień wpisujesz 6.

[gentki]

ok rozumiem ale dlaczego nie robi sie ze obliczajac dla -2 \(\displaystyle{ -2(-1) ^{5}}\) i dalej ta macierz wymiary 2x2

[falko1]

"5" w wykładniku potęgi powstaje poprzez zsumowanie 2 i 3. Ale zamiast za każdym razem to liczyć można zapamiętać, że znaki zmieniają się na przemian i "+" jest zawsze w lewym górnym rogu.

Natomiast, jeśli chodzi o mnożenie przez -2, to robi się to tylko przy liczeniu wyznacznika tej macierzy poprzez rozwinięcie Laplace'a - przy wyznaczaniu macierzy dopełnień takiego mnożenia nie ma.

[gentki]

aha rozumiem, bo wlasnie zalezy mi na obliczeniu wyznacznika metoda lapleaca, mozecie mi z tym rozwinieciem pomoc?

[falko1]

Najpierw trzeba nieco przekształcić macierz wyjściową, tzn. od drugiego wiersza odejmujesz podwojony wiersz pierwszy i tak samo od trzeciego wiersza też odejmujesz podwojony pierwszy. W ten sposób w pierwszej kolumnie otrzymujesz 1,0,0 i rozwijając w oparciu o tę kolumnę musisz drugi i trzeci wyraz Ci się kasują (bo są mnożone przez zera). Pierwszy wyraz jest tak jak pisałeś iloczynem 1, -1 do odpowiedniej potęgi (w tym przypadku 1+1=2, czyli tak jak pisałem przy tym dopełnieniu jest "+") i macierzy dopełnionej dla 1, czyli w pierwszy wierszu jest -3 oraz -6, a w drugim -6 i -3. Jak sobie to wszystko wymnożysz i policzysz, wychodzi -27.