rzad macierzy z parametrem

[dudekns]

czesc
taki układ równań,Ile ma rozwiązań?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x1+x2+x3-x4=3\\ x1+x2-x3+x4=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ rz\left[A|B \right]}\)=\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccc}211-1|3\\11-11|2\\\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccc}211-1|3\\01-33|1\\\end{array}\right]2w1-w2=2}\)

rz[A|B]=2 , rzA=2 , n=4

rz[A|B]=rzA=2<4 - czyli układ równań lin. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Szukam minora stopia 2, który jest \(\displaystyle{ \neq}\) 0.

np. minor
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 21\\01\\\end{vmatrix}}\)=2 \(\displaystyle{ \neq}\) 0

Parametryzue niewiadomę x3,x4.
x3=a,x4=b; a,b \(\displaystyle{ \in}\) R

i co teraz? gdzie podstawiam te a i b ?do postaci schodkowej
dzięki za odpowiedż

[BettyBoo]

Jeśli pytaniem jest ile ten układ ma rozwiązań, to odpowiedź już masz i nic więcej nie musisz robić.

Jeśli chcesz znaleźć te rozwiązania, to mając postać schodkową spisujesz z niej z powrotem układ równań (chyba, że chcesz mieć postać normalną, to jeszcze dalej przekształcasz macierz). Tam podstawiasz a i b i wyliczasz pozostałe dwie niewiadome.

Pozdrawiam.

[dudekns]

aha czyli przyjmujac minora
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 21\\01\\\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ \neq}\) 0

plus Parametryzuje niewiadomę x3,x4.
x3=a,x4=b; a,b \(\displaystyle{ \in}\) R

podstawiam pod postać schodkową:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccc}211-1|3\\01-33|1\\\end{array}\right]2w1-w2=2}\)

czyli otrzymuje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x1+x2+a-b=3 \\ x2-3a+3a=1 \end{cases}}\)

i rozwiązuje ten układzik?:)


ps:
a Jeżeli drugi cały wiersz będzie równy zero to licze wtedy tylko 1 wiersz tak?
dzięki!

[BettyBoo]

i rozwiązuje ten układzik?:)

Tak.

ps:
a Jeżeli drugi cały wiersz będzie równy zero to licze wtedy tylko 1 wiersz tak?
dzięki!

Nie do końca chyba rozumiem pytanie W każdym razie, wiersz zerowy w macierzy odpowiada równaniu 0=0, więc można go pominąć przy rozwiązywaniu.

Pozdrawiam.

[dudekns]

Interesuje mnie również ten przykład:
Jednorodny układ równań
Ax=0

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x1-x2-2x3-x4=0 \\ 3x1-2x2-x3-x4=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}2-1-2-1|0\\3-2-1-1|0\\\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{ccc}6-3-2-3|0\\010-1|0\\\end{array}\right]=2}\)

czyli rz[A|B]=rzA-2 <n - czyli ukł.rów.lin. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
n=4

Szukam minora stpodnia 2-giego.

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -2-3\\0-1\\\end{vmatrix}=-2 \neq 0}\)

Parametryzuje niewiadomą x1,x2
x1=a,x2=b ; a,b \(\displaystyle{ \in}\) R

i co teraz mam podstawić pod postać schodkową czy pod postaw początkową rzędu - \(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}2-1-2-1|0\\3-2-1-1|0\\\end{array}\right]}\)

Wydaje mi się, że trzeba podstawić pod podstać schodkową tak?, ale jest haczyk w zeszycie z ćwiczeń mam podstawiony układ rownań właśnie taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b-2x3-x4=0 \\ 3a-2b-x3-x4=0 \end{cases}}\)

dlaczego? dzięki za odpowiedz!

[BettyBoo]

Jeśli do obliczania rzędu nie wykorzystujesz przekształceń na kolumnach, to możesz podstawić do postaci schodkowej, jeśli wykorzystujesz, to nie możesz (podczas rozwiązywania układu można działać tylko na wierszach).

Pozdrawiam.

[dudekns]

Jeśli do obliczania rzędu nie wykorzystujesz przekształceń na kolumnach, to możesz podstawić do postaci schodkowej, jeśli wykorzystujesz, to nie możesz (podczas rozwiązywania układu można działać tylko na wierszach).

Pozdrawiam.

czyli kiedy moge podstawić do postaci schodkowej a kiedy tej początkowej? wystarczy. że wszystkie wiersze przekształce to nie moge pod postać schodkową podstawic?
można troche jaśniej

[BettyBoo]

Jeśli wykorzystujesz tylko przekształcenia na wierszach (tzn jeśli robisz klasyczny proces Gaussa), to zawsze możesz podstawić do postaci schodkowej .

Natomiast podczas obliczania rzędu można też wykorzystywać przekształcenia na kolumnach. Jeśli jakieś wykorzystasz, to musisz podstawić parametry do oryginalnej postaci macierzy (bo podczas rozwiązywania układu nie wolno działać na kolumnach).

Pozdrawiam.

[dudekns]

Jeśli wykorzystujesz tylko przekształcenia na wierszach (tzn jeśli robisz klasyczny proces Gaussa), to zawsze możesz podstawić do postaci schodkowej .

Natomiast podczas obliczania rzędu można też wykorzystywać przekształcenia na kolumnach. Jeśli jakieś wykorzystasz, to musisz podstawić parametry do oryginalnej postaci macierzy (bo podczas rozwiązywania układu nie wolno działać na kolumnach).

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}2-1-2-1|0\\3-2-1-1|0\\\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}6-3-2-3|0\\6-4-2-2|0\\\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =rz\left[\begin{array}{ccc}6-3-2-3|0\\010-1|0\\\end{array}\right]=2}\)

czyli tutaj nie moge podstawic pod postać schodkową ponieważ przekształciłem pierwszy wiersz o 3w1 a drugi wiersz o 2w2 czyli cala kolumna ulega zmianie i podstawiac mam pod \(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}2-1-2-1|0\\3-2-1-1|0\\\end{array}\right]}\) ?
ps; nic nie słyszałem o procesie Gaussa na zajęciach

[BettyBoo]

Działałeś tylko na wierszach, więc możesz wstawić do postaci schodkowej.

Pozdrawiam.

[dudekns]

Działałeś tylko na wierszach, więc możesz wstawić do postaci schodkowej.

Pozdrawiam.

to dlaczego na zajeciach po przeksztalceniu wszystkich wierszy podstawiamy do rzedu pierwszego a nie do postaci schodkowej?
nadal nie rozumiem

[BettyBoo]

Nie wiem, co robicie na zajęciach Napisałam, co możesz zrobić. Podstawianie do oryginalnej postaci też jest poprawne, tylko masz niepotrzebną robotę.

Pozdrawiam.

[dudekns]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x1-x2-2x3-x4=0 \\ 3x1-2x2-x3-x4=0 \end{cases}}\)

rz[A|B]=\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}2-1-2-1|0\\3-2-1-1|0\\\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}6-3-2-3|0\\6-4-2-2|0\\\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ rz[A|B]= rz\left[\begin{array}{ccc}6-3-2-3|0\\010-1|0\\\end{array}\right]}\)

Drugi rząd w 1wierszu przekształciem o 3w1
Drugi rząd w 2wierszu przekształciem o 2w2
rz[A|B]=rzA=2<n
n=4

Ukł.rów.lin. ma nieskończenie wiele rozw.
Szukam minora stopnia 2
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -2-3\\0-1\\\end{vmatrix}=-2 \neq 0}\)

Parametryzuje niewiadome x1,x2

x1=a,x2=b
a,b \(\displaystyle{ \in}\)R

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b-2x3-x4=0 \\ 3a-2b-x3-x4=0 \end{cases}}\)
Dlaczego nie podstawiamy do postaci schodkowej?
Może łatwiej na przykładzie ktoś wytłumaczy, dzieki!

PS:
Czyli bez różncy czy podstawiamy pod podstać schodkową czy pod pierwotną?
dzieki!
Ps2:
licząc ukl.row z postaci pierwtonej
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x3=-a+b \\ x4=4a+3b \end{cases}}\)

a licząc ukl.rown z postaci schodkowej
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x3=3a-3b \\ x4=b \end{cases}}\)

czyli sa rózne wyniki w pierwotnej i schodkowej, czyli obydwa są dobrze?

[BettyBoo]

Po pierwsze, nie wiem dlaczego nie podstawiacie do postaci schodkowej, skoro już ją macie

Po drugie, nie wiem również, po co musicie mieć postać schodkową, żeby znaleźć minor o niezerowym wyznaczniku - przecież można go od razu znaleźć w oryginalnej macierzy.

Najwyraźniej Wasz ćwiczeniowiec nie do końca wie, co i po co robi

Pozdrawiam.

[dudekns]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x1-x2-2x3-x4=0 \\ 3x1-2x2-x3-x4=0 \end{cases}}\)

PS:
Czyli bez różncy czy podstawiamy pod podstać schodkową czy pod pierwotną?
dzieki!
Ps2:
licząc ukl.row z postaci pierwtonej
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x3=-a+b \\ x4=4a+3b \end{cases}}\)

a licząc ukl.rown z postaci schodkowej
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x3=3a-3b \\ x4=b \end{cases}}\)

czyli sa rózne wyniki w pierwotnej i schodkowej, czyli obydwa są dobrze?

czyli?