uklad z parametrem. do sprawdzenia

[okon]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=4\\5x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=9\\ mx_{1}+3x_{2}-x_{3}=m\\ 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=5\end{cases}}\)

Zaczynam od tego, że R(U) nie może być większe od R(A), jesli maja byc rozwiązania, więc det(U) musi być równe 0.
Obliczając wyznacznik pojawiają się dwa takie same wiersze, wiec wyznacznik jest równy zero, i nie zależy od parametru m.
Dalej, dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+1x_{2}+3x_{3}=4\\5x_{1}+10x_{3}=11\\ (m-1)x_{2}+=m-1 \end{cases}}\)

więc
\(\displaystyle{ x_{2}=1}\)
I zostaje mi układ 2 równań z dwoma niewiadomymi... niezależnymi od parametru.

Nie wiem... cos robie źle, bardzo proszę o pomoc i wskazówki.
zależy mi na czasie.
pozdrawiam Michał

[BettyBoo]

Skoro detU jest zawsze równy 0 to znaczy, że układ nigdy nie jest sprzeczny.
Dalej, o ile obliczenia są dobrze, to \(\displaystyle{ x_2=1}\) ale tylko wtedy, gdy możesz podzielić przez m-1, tzn gdy \(\displaystyle{ m-1\neq 0}\).
Przypadek m=1 obliczasz osobno - i stąd dostajesz nieskończenie wiele rozwiązań.

Pozdrawiam.

[okon]

czyli to co obliczyłem jest dla m =/= 1. I rozwiazaniem są 3 liczby, x1,x2,x3. tak?
a ten przypadek dla m=1 jak mam obliczyc? za m podstawiam 1? i jak to wyjdzie, nieskonczenie wiele rozwiazan?

[BettyBoo]

Tak, dla \(\displaystyle{ m\neq 1}\) masz dokładnie 1 rozwiązanie (normalnie sobie obliczasz).
Potem podstawiasz do układu m=1 i normalnie rozwiązujesz. W Twoim przypadku oznacza to, że ostatnie równanie znika, więc układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań z 1 parametrem.

Pozdrawiam.

[okon]

czyli podstawiam sobie np: za x2=t i obliczam tak? ;]

Dziękuje bardzo.
ps; Jak możesz, to zerknij jeszcze na inne zadanko z algebry liniowej, mialem tez maly problem.
pozdrawiam

[BettyBoo]

czyli podstawiam sobie np: za x2=t i obliczam tak? ;]

Zależy, jaką metodę rozwiązywania układu stosujesz. Generalnie to się robi proces Gaussa, więc na koniec samo wychodzi, co ma być parametrem. Możesz też do razu przyjąć, która zmienna ma być parametrem, ale wtedy musisz mieć pewność, że to możliwe (nie w każdym układzie każda zmienna może być parametrem).

Pozdrawiam.

[okon]

no to metodą gaussa mam tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=4\\-5x_{2}+5x_{3}=2 \end{cases}}\)

więc w tym przypadku co może byc parametrem?

[BettyBoo]

Tu parametrem będzie \(\displaystyle{ x_3}\), ponieważ zgodnie z metodą Gaussa, z układu wyznacza się zmienne, które mają wiodące elementy w macierzy (pierwszy niezerowy element każdego wiersza w postaci schodkowej nazywa się elementem wiodącym).

Jeśli zapiszesz inną początkową macierz układu (zauważ, że początkowa kolejność kolumn może być dowolna, można nią sterować tak, żeby się wygodnie rozwiązywało), to pewnie inna zmienna będzie parametrem.

Pozdrawiam.

[okon]

nie rozumiem. jak pierwszy element niezerowy kazdego wiersza w postaci schodkowej to nie powino byc :
2x1 oraz -5x2? ;

[BettyBoo]

No tak - wyliczasz z pierwszego równania \(\displaystyle{ x_1}\), z drugiego wyliczasz \(\displaystyle{ x_2}\), więc wychodzi, że parametrem jest \(\displaystyle{ x_3}\)

Pozdrawiam.

[okon]

!!:)) jesteś niezastąpiona