Jądro / Obraz są podprzestrzeniami liniowymi - dowód

[xmtix]

Jak w temacie, szukam dowodu na to, że jądro oraz obraz są podprzestrzeniami liniowymi. Wiem, że to mało ambitne, ale zmuszony byłem poświecić algebre kosztem innych przedmiotów . Jeżeli znajduje się odpowiedz na moje pytanie w jakimś skrypcie prosiłbym o wskazanie miejsca gdzie dokladnie ;d

[Zordon]

np. jądro:
niech \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\)
1. wektor zerowy jest zawsze w jądrze
2. niech \(\displaystyle{ v_1, v_2\in ker F}\), wtedy \(\displaystyle{ F(v_1)=F(v_2)=0}\) i stąd \(\displaystyle{ F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2)=0+0=0}\). Co oznacza, że \(\displaystyle{ (v_1+v_2)\in ker F}\)
3. wezmy \(\displaystyle{ v\in ker F}\) i skalar \(\displaystyle{ a}\), wtedy \(\displaystyle{ F(av)=aF(v)=a\cdot 0=0}\). Czyli \(\displaystyle{ av \in kerF}\)

[Tomasz Tkaczyk]

Obraz podobnie.

Spróbuj rozwiązać samodzielnie i napisać to tutaj.

[xmtix]

Ok dzięki wielkie za pomoc z kernelem.

Wracając do obrazu, więc:
definicja
\(\displaystyle{ Im f = { w \in W :}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in V}\), takie że \(\displaystyle{ w=f(x)}}\)

i w tym przypadku mam również sprawdzać dla wek. zerowego?

[Tomasz Tkaczyk]

\(\displaystyle{ Im(F) = \lbrace F(v): v \in V \rbrace}\) po prostu.

Sprawdzasz, że wektor zerowy tam należy i że suma dwóch wektorów z tego zbioru tam należy, oraz wektor przeskalowany także tam należy.